Série génératrice d’une récurrence linéaire

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {E} l’ensemble des suites réelles telles que : {\forall\, n\geq 0,\;u_{n+3}=3u_{n+1}+2u_{n}}Si {u\in E}, on note la série entière {S_{u}(z)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty }u_nz^n}.

On note {R_u} son rayon de convergence.

Dans la question (1), {u} est quelconque dans {E}.

Question 1.a
Sans expliciter {u_{n}}, montrer que {R_{u}\ge\dfrac12}.
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Question 1.b
Calculer {S_{u}(z)} en fonction de {u_{0},u_{1},u_{2}}.
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Question 1.c
Dans cette question (1c) seulement, on suppose :{u_{0}=1,\;u_{1}=3\;\text{et}\;u_{2}=2}Déterminer l’expression de {u_n} en fonction de {n}.
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Dans la question (2), on s’intéresse à d’autres points de vue pour décrire l’ensemble {E} :

Question 2.a
Montrer que {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}, et en donner la dimension.
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Question 2.b
On note {\delta} l’endomorphisme qui à une suite {(u_{n})} associe la suite de terme général {v_{n}=u_{n+1}}.
Interpréter {E} comme le noyau d’un polynôme en {\delta}, et décrire les éléments de {E}.
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Question 2.c
Indiquer une méthode matricielle permettant de retrouver les éléments de {E}.
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