Somme d’une série entière

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit la série entière {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}{a_{n}=\dfrac{4^{n}}{\binom{2n}{n}}}

Question 1
Simplifier le rapport {\dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}} pour tout {n\ge1}.
En déduire le rayon de convergence {R} de {S(x)}.
Y a-t-il convergence pour {x=-R}? pour {x=R}?
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Question 2
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on pose {J_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1}(1-u)^{n}u^{n}\text{d}u}.
Utiliser la formule de Taylor avec reste intégral pour calculer {J_{n}} sous forme de factorielles.
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Question 3
En déduire une écriture de {S(x)} sous la forme d’une série d’intégrales, puis sous la forme de l’intégrale de la somme d’une série de fonctions.
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Question 4
Donner finalement une expression de {S(x)} sur {[0,R[} à l’aide de fonctions élémentaires.
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