Séries entières
Exercices corrigés sur le thème « séries entières » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Rayon(s) de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

R

le rayon de

{\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}

, et

{S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}

.
Montrer :

{R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}

➡️

Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}

, sachant que

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|}

converge.
Étudier

{U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}}

{S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}

➡️

Équa. diff. linéaire d’ordre 2

(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur

{]-1,1[}

, l’équation différentielle :

{4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}

➡️

Comparaison de rayons de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}}

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}

➡️

Une somme de série entière

(Oral Centrale)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{x^{3n}}{(3n)!}}

➡️

Fonction d’une loi de Poisson

(Oral Centrale)
Soit

{X}

une v.a.r. telle que

{X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}

.
Si

{X}

est paire, on pose

{Y = X\text{/}2}

, et

{Y=0}

sinon.
Donner la loi de

{Y}

, son espérance et sa variance.

➡️

Un développement en série entière

(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite

(c_n)

définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme

P

. En utilisant la factorisation de

P

, on trouve l’expression des

c_n

et le rayon de convergence de

f

➡️

Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}}

(distance distance à

{\mathbb{Z}}

).
Soit

{E}

l’ensemble des

{f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}}

DSE de rayon

+\infty

.
Soient

{g\in E}

{q\in\mathbb{C}}

, et l’équation :

{(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}

où

{f}

est cherchée dans

{E}

.
Selon

q

, on étudie l’existence d’un solution à (*).

➡️

Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre

u_n

de façons de remplir un rectangle

4\times n

par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les

{u_{n}}

. On écrit une fonction Python calculant

{u_n}

. On donne une expression des

u_n

et on étudie leur série génératrice.

➡️

DSE de arctan(1+x)

(Oral Centrale)
Développer

{f\colon x\mapsto \text{arctan}(1+x)}

en série entière.

➡️

Exp(A), avec A antisymétrique

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}

.
1. Montrer :

{\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}

.
2. Montrer :

{\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}

.
3. On pose

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}

.
Montrer que

{S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}}

existe.
Calculer

{(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}}

tel que

{S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}

➡️

Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit

{I_{n}}

le nombre d’involutions de

{[\![1,n]\!]}

avec

{I_{0}=1}

.
1. Donner

{I_{1},I_{2},I_{3}}

. Montrer :

{I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}

.
2. Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}}

est de rayon

{R > 0}

.
3. Calculer

{(1\!+\!x)S(x)}

et en déduire

{S(x)}

{I_{n}}

➡️

Développement en série entière

(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de

{g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}

➡️

Une série génératrice

(Oral Centrale)
Soit

{a_n}

le coefficient de

{X^n}

dans

{(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}

.
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n}

est de rayon

{R\ge\dfrac{1}{3}}

.
On admet la relation :

{na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}

(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer

{R}

. Exprimer

{f(x)}

➡️

La somme des xⁿ/(3n+1)

(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^n}{3n+1}}

➡️