Étude de séries entières

(Oral Mines-Ponts)
On suppose {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|\lt+\infty}. Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}.

  1. Préciser les rayons de convergence de {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
  2. Trouver une relation entre {U’}, {S} et {S’}.
  3. On suppose que {\displaystyle\lim_{+\infty}s_{n}=\ell}.
    Calculer {\displaystyle\lim_{+\infty}\text{e}^{-x}S(x)}.

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