Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}}

(distance distance à

{\mathbb{Z}}

).
Soit

{E}

l’ensemble des fonctions

{f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}}

qui sont DSE de rayon

+\infty

.
Soient

{g\in E}

{q\in\mathbb{C}}

, et l’équation :

{(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}

où

{f}

est cherchée dans

{E}

Si ${|q|\ne 1}$ , montrer que (*) a une solution si et seulement si ${g(0) = 0}$ .
Donner alors l’ensemble des solutions de (*).
Soient {\,\theta\in\mathbb{R}}, et {q = \exp(2i\pi\,\theta)}.
- Montrer que pour tout ${n\in\mathbb{N}^{*}}$ , on a : ${4\left\|{n\,\theta}\right\|\le\left|{q^{n}-1}\right|\le 2\pi\left\|{n\,\theta}\right\|}$ .
- On dit que ${\,\theta}$ est lentement approché si: ${\exists\, c\in\mathbb{R}^{+*},\;\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;c^{n}\le\left\|{n\,\theta}\right\|}$ .
  Un rationnel est-il lentement approché ?
- Montrer que (i) et (ii) sont équivalentes :
  (i) ${\,\theta}$ est lentement approché
  (ii) (*) a une solution ${\Leftrightarrow g(0) = 0}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :