Série entière et équation différentielle
Rayon et somme f de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
On notera que f vérifie {(1-x^2)y'-xy=1}.
Séries entières
Produits de Cauchy
Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».
Développements en série entière
Six exercices sur le thème « développements en série entière ».
Séries entières, rayons et sommes
Cinq exercices sur le thème « convergence et somme de séries entières »
Rayons et sommes de séries entières
Cinq exercices sur le thème « Rayon et somme de séries entières ».
D’autres rayons de convergence
Quatre exercices sur le thème “Rayon de convergence de séries entières”.
DSE de arcsin2(x)
Développer {f(x)=\arcsin^{2}(x)} en série entière.
Un développement en série entière
Développer {f(x)=\arctan\left(\dfrac{x\sin\alpha}{1-x\cos\alpha}\right)} en série entière, où {0\lt \alpha\lt \dfrac\pi2}.
Série entière, équation différentielle
(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}.
Une somme de série entière
(Oral Ccp)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}, où {a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}
Rayon et somme de {\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}, où {a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}
Loi définie par sa fonction génératrice
Égalités dans un jeu à deux
(Oral X-Cachan Psi)
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Dans une suite de parties identiques et indépendantes à deux joueurs, on s’intéresse à la probabilité d’une première égalité après 2n parties.
Équa. différentielle et série entière
Une loi de probabilité
(Oral Tpe)
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Étude de la loi de X définie par : {\forall\, k\in\mathbb{N}^{*},\;\mathbb{P}(X = k) =\dfrac{k-1}{2^{k}}}.
Série entière et série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Un développement en série entière
Comparaison de rayons de CV
(Oral Mines-Ponts)
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum a_{n}x^{n}} et {\displaystyle\sum a_{n}^{n}x^{n}}.
Étude de rayons de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Soit R le rayon de convergence de {\sum a_{n}x^{n}}.
Trouver ceux de {\sum a_{n}x^{2n}}, {\sum a_{n}^{2}x^{n}} et {\sum a_{n}x^{n^{2}}}.
Une série entière millésimée
(Oral Mines Ponts)
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Rayon {R} et calcul de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin\Bigl(\dfrac{n\pi}{2019}\Bigr)x^{n}}.
Somme d’une série numérique
Rayon de convergence de ∑ tr(Ak)zk
(Oral Mines-Ponts et Telecom Sud Paris)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}. Donner le rayon de {\displaystyle\sum\text{tr}(A^{k})z^{k}}
Série de fonctions, série entière
(Oral Ccp et Centrale)
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Soit {f:x\mapsto \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(a^nx)}, avec |a|\lt1.
On montre que {f} est {C^{\infty}}, puis qu’elle est développable en série entière sur \mathbb{R}.
Une somme de série entière
(Oral Mines-Nancy)
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Rayon et somme de {f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{4n^2-1}}.
Interversion série-intégrale
(Oral Ccp et Centrale)
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
On suppose {\displaystyle\sum\limits_{n\ge0}|a_{n}|\lt\infty}. Soit {f(t)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}t^{n}}.
Montrer que {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!f(t)\,\text{e}^{-t}\,\text{d}t=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}}.
Série entière et produit de Cauchy
(Oral Ccp)
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
On définit {u_{0}=3}, {u_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u_{k}u_{n-k}}.
Écrire {f(x)\!=\!\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}} à l’aide de fonctions usuelles
Série entière et coefficients binomiaux
(Oral Centrale)
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
À l’aide d’un produit de Cauchy, on montre que {4^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \dbinom{2k}{k}\dbinom{2n-2k}{n-k}}.
Un développement en série entière
(Oral Mines-Ponts)
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Développer en série entière {f(x)=e^{x^2}\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,\text{d}t}.
Un développement de arctan(x)
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Montrer que, pour tout réel {x} : {\arctan(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(2n)!}{(2n+1)4^n (n!)^2}\Bigl(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\Bigr)^{2n+1}}
Rayon et somme d’une série entière
(Oral Mines-Ponts)
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Rayon et somme de {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cos\Bigl(n\dfrac{\pi}{2}\!+\!\dfrac{\pi}{4}\Bigr)x^n}.
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Rayon(s) de convergence
(Oral Mines-Ponts)
Soit R le rayon de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}, et {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer : {R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}
Soit R le rayon de {\displaystyle\sum_{n\ge 0}a_n z^n}, et {S_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kz^k}.
Montrer : {R=\sup\left\{r\in\mathbb{R}^+,\; \left( S_n(r)\right)_{n\geq 0}\text{ bornée}\right\}}
Étude de séries entières
(Oral Mines-Ponts)
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Soit {s_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_{k}}, sachant que {\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|u_{k}|} converge.
Étudier {U(x) =\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{u_{k}}{k!}x^{k}} et {S(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{s_{k}}{k!}x^{k}}.
Équa. diff. linéaire d’ordre 2
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Résoudre, sur {]-1,1[}, l’équation différentielle : {4(1-t^{2})y''(t)-4\,t\,y'(t)+y(t) = 0}
Comparaison de rayons de convergence
(Oral Centrale)
Soit {(a_{n})} une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}.
Soit {(a_{n})} une suite de complexes non nuls.
Comparer les rayons de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}z^{n}} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{z^{n}}{a_{n}}}.
Une somme de série entière
Fonction d’une loi de Poisson
(Oral Centrale)
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Soit {X} une v.a.r. telle que {X\leadsto \mathcal{P}(\lambda)}.
Si {X} est paire, on pose {Y = X\text{/}2}, et {Y=0} sinon.
Donner la loi de {Y}, son espérance et sa variance.
Un développement en série entière
(Oral X-Cachan Psi)
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
On forme la série génératrice attachée à une suite (c_n) définie par convolution avec les coefficients d’un polynôme P. En utilisant la factorisation de P, on trouve l’expression des c_n et le rayon de convergence de f
Équation fonctionnelle f(qz)-f(z)=g(z)
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}où {f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).
Soit {\left\|x\right\|=d(x,\mathbb{Z}} (distance distance à {\mathbb{Z}}).
Soit {E} l’ensemble des {f\colon\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}} DSE de rayon +\infty.
Soient {g\in E} et {q\in\mathbb{C}}, et l’équation : {(\star)\;\forall\,z\in\mathbb{C},\;f(qz)-f(z)=g(z)}où {f} est cherchée dans {E}.
Selon q, on étudie l’existence d’un solution à (*).
Pavage par des dominos
On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.
DSE de arctan(1+x)
Exp(A), avec A antisymétrique
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.
Soit {A =\begin{pmatrix}0&-c&b\\ c& 0& a\\-b&-a&0\end{pmatrix}\in {\mathcal M}_{3}(\mathbb{R})}.
1. Montrer : {\exists\theta\in\mathbb{R},\;A^{3}=-\theta A}.
2. Montrer : {\forall\, n\in\,\mathbb{N}^{*},\;A^{2n}=(-\theta)^{n-1}A^{2}}.
3. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{k!}A^{k}}.
Montrer que {S_{\infty}= \displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}S_{n}} existe.
Calculer {(\alpha,\beta) \in\,\mathbb{R}^{2}} tel que {S_{\infty} = I_{3} + \alpha A + \beta A^{2}}.
Involutions et séries entières
(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Développement en série entière
(Oral Mines-Ponts et Centrale)
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
Déterminer le rayon de {g(x)=\exp\biggl(\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\dfrac{x^n}{n^2}\biggr)}.
Une série génératrice
(Oral Centrale)
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.
Soit {a_n} le coefficient de {X^n} dans {(X^2\!+\!X\!+\!1)^n}.
Montrer que {f(x)=\displaystyle\sum_{n\geq0}a_nx^n} est de rayon {R\ge\dfrac{1}{3}}.
On admet la relation : {na_n=(2n\!-\!1)a_{n-1}+3(n\!-\!1)a_{n-2}}(voir l’article « Coefficient trinomial central »)
Déterminer {R}. Exprimer {f(x)}.