Séries entières
Exercices corrigés sur le thème « séries entières » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Séries entières trigonométriques

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{\theta \in\,]0,\pi[}

. On pose :

{f(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\cos n\theta}{n}z^{n}\,\text{et}\,g(z)\!=\!\!\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{\sin n\theta }{n}z^{n}}

Rayon et somme de ces deux séries entières.

➡️

Une série et un rayon de convergence

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{F(x)=\!\displaystyle\int_0^x\!\! \sin(t^2)\text{d}t}

{a_n=\displaystyle\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\!\!\!\!\sin(t^2)\text{d}t}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum a_n}

converge, et que

{\displaystyle\lim_{+\infty}F}

existe.
Déterminer le rayon de convergence

{R}

{\displaystyle\sum a_n x^n}

➡️

Étude au bord du disque de convergence

(Oral Centrale)
Soit

{(a_{n})}

une suite réelle telle que

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}na_{n}=0}

.
Montrer que le rayon de

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

est

{R\ge1}

.
Montrer que

{\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }a_{n}x^{n}=o(\ln (1\!-\!x))}

quand

{x\rightarrow 1^{-}}

➡️

Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit

{R>0}

le rayon de convergence de

{S(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

.
Pour

{r\in \lbrack 0,R[}

, on montre que :

{\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}|a_{k}|^{2}r^{2k}=\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S(re^{i\theta })|^{2}\,d\theta}

On voit deux méthodes très différentes.

➡️

Série de fonctions ou série entière ?

(Oral Mines-Ponts)
Domaine et régularité de

{f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n^{2}+x^{2}}}

Montrer que

{f}

est développable en série entière.
Quel est le rayon de convergence?

➡️

Quelques rayons de convergence

Cinq exercices sur le thème « Rayon de convergence de séries entières ».

➡️

Deux développements usuels

Par des techniques de 1ère année, on retrouve les développements de

{\exp(x)}

et de

{\ln(1\!-\!x)}

➡️

Suite récurrente et série génératrice

(Oral Centrale 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite telle que :

{\forall\,n\geq 3,\;u_{n}=6u_{n-1}-11u_{n-2}+6u_{n-3}}

.
Montrer :

{\exists\,c\geq 0,\;\forall\,n\in\mathbb{N},\;|u_{n}|\leq c\,8^{n}}

.
Trouver le rayon

{R}

et la somme

{S}

{\displaystyle\displaystyle\sum u_{n}x^{n}}

➡️

Nombres de Bell

(Oral Centrale 2018)
On pose

{u_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;u_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}u_{k}}

.
Écrire une fonction Python calculant

{u_n}

.
Conjecturer la valeur de

{\dfrac{1}{\text{e}}\displaystyle\sum\limits_{k\ge 0}\dfrac{k^{n}}{k!}}

.
Prouver cette conjecture. Calculer

{f(x)=\displaystyle\sum\dfrac{u_{n}}{n!}x^n}

➡️

Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

avec

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour tout

{k\ge1}

.
Montrer que

{A}

est nilpotente (deux méthodes).

➡️

Équation différentielle et prolongement

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit l’équation différentielle

{(E)}

{2xy'+y=\dfrac{1}{1-x}}

.
Résoudre

{(E)}

sur

{]-\infty ,0[}

{]0,1[}

{]1,+\infty \lbrack}

.
Montrer que

{(E)}

a une unique solution sur

{]-\infty ,1[}

.
Montrer que cette solution est

{\mathcal{C}^{\infty}}

➡️

Série entière (très) lacunaire

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le rayon de convergence de

{f(x)=\displaystyle\sum x^{2^{n}}}

.
Donner un équivalent de

{f(x)}

quand

{x\to1}

➡️

Étude locale d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Calculer le rayon

{R}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n\geq 1}\tan \left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) x^{n}}

.
Convergence en

{\pm \ R}

? Déterminer

{\displaystyle\lim_{x\to1}(1-x)f(x)}

➡️

Série entière et dérangements

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{D_{n}}

le nombre de permutations de

{\{1,\ldots,n\}}

sans point fixe (par convention,

{D_0=1}

).
Soit la série entière

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{D_{n}}{n!}x^{n}}

.
Montrer

{\displaystyle\sum\limits_{p=0}^{n}\dbinom{n}{p}D_{p}=n!}

et calculer

{e^{x}f(x)}

.
En déduire

{D_{n}}

sous forme de somme alternée.

➡️

Série entière et nombres de Catalan

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=1}

et :

{\forall\,n\in\mathbb{N},\;a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}a_{n-k}}

.
Calculer

{a_{n}}

pour tout

{n\in\mathbb{N}}

➡️

Série entière et suite récurrente

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{0}=a_{1}=1}

puis

{a_{n}=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}}

.
Que peut-on dire du rayon

{R}

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^n}

?
Trouver

{f(x)}

et exprimer les

{a_{n}}

à l’aide d’une somme.

➡️

Série entière et intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\!\!\dfrac{e^{-t}\,\text{d}t}{1-x\sin ^{2}t}}

existe si

{x\lt1}

.
Développer

{f}

en série entière en

{0}

➡️

Série de fonctions et série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{f:x\mapsto \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{x+n}}

est développable en série entière sur

{]-1,1[}

➡️

Série entière à coefficient intégrale

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{a_{n}=\displaystyle\int_{n}^{+\infty}\dfrac{\mathrm{th}t}{t^{2}}\,\text{d}t}

. Rayon

{R}

{\displaystyle\sum a_{n}x^{n}}

puis convergence en

{\pm R}

➡️

Duo de séries entières

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{(u_{n})}

une suite bornée, et

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}u_k}

.
Rayons de

{u(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n!}x^{n}\;\text{et}\;S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{S_{n}}{n!}x^{n}}

.
Relation entre

{u'}

{S'}

{S}

.
Calcul de

{\displaystyle\lim_{+\infty}S(x)e^{-x}}

quand

{u_{n}=(-1)^{n}}

➡️