Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})}

{\mathrm{tr}(A^{k})=0}

pour

{k\ge1}

.
Soit

{a_{1},\ldots,a_{p}}

ses valeurs propres distinctes.
Soit

{m_{1} ,\ldots,m_{p}}

leurs multiplicités.

Soit ${G}$ l’ensemble des ${Q\in\mathbb{C}}$ tels que : ${m_{1}Q(a_{1})+\cdots+m_{p}Q(a_{p})=0}$ Montrer que ${G=\{Q\!\in\!\mathbb{C}[X],Q(0)=0\}}$ .
En déduire que ${\mathrm{Sp}(A)=\{0\}}$ puis que ${A}$ est nilpotente.
On considère la série entière ${\sum\mathrm{tr}(A^{k})z^{k}}$ .
Exprimer son rayon à l’aide des valeurs propres de ${A}$ et retrouver le résultat de la première question.

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