Nilpotence et trace des puissances

(Oral Centrale 2018)
Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})} et {\mathrm{tr}(A^{k})=0} pour {k\ge1}.
Soit {a_{1},\ldots,a_{p}} ses valeurs propres distinctes.
Soit {m_{1} ,\ldots,m_{p}} leurs multiplicités.

  1. Soit {G} l’ensemble des {Q\in\mathbb{C}} tels que : {m_{1}Q(a_{1})+\cdots+m_{p}Q(a_{p})=0}Montrer que {G=\{Q\!\in\!\mathbb{C}[X],Q(0)=0\}}.
    En déduire que {\mathrm{Sp}(A)=\{0\}} puis que {A} est nilpotente.
  2. On considère la série entière {\sum\mathrm{tr}(A^{k})z^{k}}.
    Exprimer son rayon à l’aide des valeurs propres de {A} et retrouver le résultat de la première question.

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