Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit {R>0} le rayon de convergence de {\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}.
On pose {S_{n}(z)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}.

  1. Pour {k\in \mathbb{Z}}, calculer {J_k=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{ki\theta }d\theta }.
  2. Pour {r\in \lbrack 0,R[} et {n\in \mathbb{N}}, montrer que : {\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S_{n}(re^{i\theta })|^{2}d\theta=2\pi\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|^{2}r^{2k}}
  3. Nature et somme de la série {\displaystyle\sum_{k\ge0}|a_{k}|^{2}r^{2k}}.
    NB : on peut donner deux méthodes très différentes pour cette question.

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