Séries entières et intégrales

(Oral Centrale)
Soit

{R>0}

le rayon de convergence de

{\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

.
On pose

{S_{n}(z)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}

Pour ${k\in \mathbb{Z}}$ , calculer ${J_k=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{ki\theta }d\theta }$ .
Pour ${r\in \lbrack 0,R[}$ et ${n\in \mathbb{N}}$ , montrer que : ${\displaystyle\int_{0}^{2\pi }|S_{n}(re^{i\theta })|^{2}d\theta=2\pi\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}|a_{k}|^{2}r^{2k}}$
Nature et somme de la série ${\displaystyle\sum_{k\ge0}|a_{k}|^{2}r^{2k}}$ .
NB : on peut donner deux méthodes très différentes pour cette question.

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