Séries entières
Exercices corrigés sur le thème « séries entières » pour Spé Mp, Pc, Psi (concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de

{f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}

.
Montrer que

{f}

se prolonge sur

{\mathbb{R}^{2}}

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Condition de nullité d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{f(z)=\displaystyle\sum a_{n}z^{n}}

de rayon

{R\ne0}

.
On suppose qu’il existe une suite

{(z_{p})}

{\mathbb{C}^*}

tendant vers

{0}

, telle que

{f(z_{p})=0 }

pour tout

{p}

.
Montrer que

{f}

est nulle.

➡️

Équivalent d’une série entière

(Oral Mines-Ponts 2018)
On pose

{a_{n}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{(-1)^{k}}{k+1}}

{f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{a_{n}}{n!}x^{n}}

.
Déterminer le rayon de

{f}

, et

{\displaystyle\lim_{+\infty}e^{-x}f(x)}

.
En déduire un équivalent de

{f}

{+\infty}

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DSE d’une intégrale à paramètre

(Oral Mines-Ponts 2018)
Préciser le domaine de

{f(x)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\!\!\dfrac{t\,\text{d}t}{x+e^{t}}}

.
Montrer que

{f}

est développable en série entière

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Une équation différentielle

(Oral Centrale Mp)
On étudie une solution particulière de

{(1-x)^3y''(x)=y(x)}

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Polynômes et suite de Fibonacci

(Oral Centrale Mp)
Étude des

{P_n(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}(1-x^{F_k})}

, où les

{F_k}

forment la suite de Fibonacci.

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Série génératrice et suite récurrente

(Oral Centrale Mp)
Étude d’une suite récurrente, via sa série génératrice.

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La suite de Perrin

(Oral Centrale Mp)
La suite de Perrin

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Une série numérique à paramètre

(Oral Centrale)
Étude de

{S(p)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{u_{n}}{n+p}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{4^n}\dbinom{2n}{n}}

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Série de Taylor non suffisante

On pose

{f(x)=\exp\Big(-\dfrac1{x^2}\Big)}

pour

x\ne 0

, et

{f(0)=0}

. Montrer que

{f}

est

{\mathcal{C}^{\infty}}

sur

{\mathbb{R}}

et que

{\forall\, n\in\mathbb{N},\;f^{(n)}(0)=0}

, mais que

f

n’est pas développable en série entière

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Série entière et équation différentielle

Rayon et somme

f

{\displaystyle\sum_{n\ge0}\dfrac{4^nn!^2}{(2n+1)!}\,x^{2n+1}}

.
On notera que

f

vérifie

{(1-x^2)y'-xy=1}

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Produits de Cauchy

Six exercices sur le thème « Produit de Cauchy de séries entières ».

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Développements en série entière

Six exercices sur le thème « développements en série entière ».

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Séries entières, rayons et sommes

Cinq exercices sur le thème « convergence et somme de séries entières »

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Rayons et sommes de séries entières

Cinq exercices sur le thème « Rayon et somme de séries entières ».

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D’autres rayons de convergence

Quatre exercices sur le thème “Rayon de convergence de séries entières”.

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DSE de arcsin²(x)

Développer

{f(x)=\arcsin^{2}(x)}

en série entière.

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Un développement en série entière

Développer

{f(x)=\arctan\left(\dfrac{x\sin\alpha}{1-x\cos\alpha}\right)}

en série entière, où

{0\lt \alpha\lt \dfrac\pi2}

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Série entière, équation différentielle

(Oral Ccp et Mines-Ponts)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{\binom{2n}{n}} x^n}

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Une somme de série entière

(Oral Ccp)
Rayon et somme de

{\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{n}}

, où

{a_{n}=(n\!\!\mod\!3)+1}

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