Séries entières, rayons et sommes

Exercice 1.
Rayon {R} et somme {S} de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{nx^n}{(2n+1)!}}.
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Exercice 2.
Rayon {R} et somme {S} de {\displaystyle\sum_{n\ge0}n^3x^n}.
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Exercice 3.
On pose {u_0=3, u_1=0, u_2=2}, et : {\forall\, n\ge3,\;u_n=u_{n-2}+u_{n-3}}Montrer que, sur un intervalle à préciser : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\,x^n=\dfrac{x^2-2}{x^3+x^{2}-1}}
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Exercice 4.
Existence et calcul de {S=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{1}{(4n+2)2^{n}}}.
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Exercice 5.
Rayon et somme de {S(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\dfrac{x^{n}}{(2n)!}}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.