Résolutions d’EDP d’ordre 1
Quatre exemples simples d’équations aux dérivées partielles d’ordre 1, résolues par changement de variable affine ou en polaires.
Calcul différentiel
Différentielle du déterminant
On calcule ici la différentielle de l’application déterminant au point {I_n}.
Passage en sphériques
On considère le passage en coordonnées sphériques {r,\theta,\varphi} dans l’espace, et on calcule les dérivées partielles de ces trois coordonnées en {x,y,z}.
Le principe du maximum
On montre que si une fonction {f} est {\mathcal{C}^{2}} et harmonique sur un ouvert borné {\Omega}, et continue sur l’adhérence de {\Gamma}, alors le maximum de f{f} est atteint en un point de la frontière de {\Omega}.
Le laplacien en polaires
Dans cet exercice, on exprime le laplacien d’une fonction de classe {\mathcal{C}^{2}} en utilisant le changement de variables défini par le passage en coordonnées polaires.
Fonctions harmoniques
On étudie ici certaines des propriétés des fonctions harmoniques, c’est-à-dire de classe {\mathcal{C}^{2}} et de laplacien identiquement nul.
Résolution d’une EDP
On résout une équation aux dérivées partielles secondes en utilisant un changement de variables.
Études de f(x,y) en (0,0)
On étudie ici la continuité, l’existence de dérivées partielles, et le caractère {\mathcal{C}^{1}} de deux fonctions numériques des deux variables {x} et {y}.
Extrema locaux
Trois exercices sur la recherche d’extrema locaux d’une fonction numérique de deux variables réelles.
Tangente à une conique
On voit comment former, par un moyen mnémotechnique de dédoublement des variables, l’équation de la tangente en un point d’une conique quelconque.
Schwarz, un contre-exemple
On étudie une fonction réelle {f} de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^2}, mais dont les dérivées partielles croisées à l’origine sont distinctes.
Un problème d’extrema liés
(Oral Centrale) On s’intéresse au maximum d’une fonction {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} polynomiale homogène en les coordonnées {x_i}, sur un certain polygone de {\mathbb{R}^n}.
Un problème de minmax
(Oral Centrale) On s’intéresse aux conditions pour que la fonction {\max(f_1,f_2,\ldots,f_p)} admette localement un minimum (les {f_i} étant de classe {\mathcal{C}^1} sur {\mathbb{R}^n}
Produit scalaire et dérivées partielles
(Oral Centrale). Avec une méthode basée sur des dérivées partielles de fonctions génératrices, on étudie un produit scalaire discret sur {\mathbb{R}_n[X]}.
Étude d’extrema locaux
(Oral Mines-Ponts)
On pose {f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}} et {f(0,0)=1}
Continuité et dérivées partielles de {f} en {(0,0)}?
Déterminer les extrema de {f} sur {\mathbb{R}^{2}}.
On pose {f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x}} et {f(0,0)=1}
Continuité et dérivées partielles de {f} en {(0,0)}?
Déterminer les extrema de {f} sur {\mathbb{R}^{2}}.
Une équation aux dérivées partielles
(Oral Mines-Ponts)
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\ \mathbb{R})} telles que {\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}-4\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+3\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0}
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\ \mathbb{R})} telles que {\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}-4\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}+3\dfrac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}=0}
f(x,y) = (sin x – sin y)/(sh x- sh y)
(Oral Mines-Ponts 2018)
Ensemble de définition de {f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}.
Montrer que {f} se prolonge sur {\mathbb{R}^{2}}.
Ensemble de définition de {f(x,y)=\dfrac{\sin x-\sin y}{\text{sh} x-\,\text{sh} y}}.
Montrer que {f} se prolonge sur {\mathbb{R}^{2}}.
Méthode du gradient à pas constant
(Oral Centrale Mp)
Dans {\mathbb{R}^n}, résolution de {Ax=b} par la méthode du gradient à pas constants.
Dans {\mathbb{R}^n}, résolution de {Ax=b} par la méthode du gradient à pas constants.
Un problème de minimisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Fonctions harmoniques homogènes
(Oral X-Cachan Psi)
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}, m-homogènes (m\in\mathbb{N}^*) et de laplacien nul.
Déterminer les {f\in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})}, m-homogènes (m\in\mathbb{N}^*) et de laplacien nul.
Minimum d’une forme quadratique
(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
Un calcul d’extrema lié
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}.
Soit {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.
Soit {A_{\lambda}=\Big\{x\in(\mathbb{R}^{+*})^{n},\; \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}=n\lambda\Big\}}.
Soit {f\colon A_{\lambda} \rightarrow\mathbb{R},\; x\mapsto \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ln(x_{i})}.
On étudie les extrema de f sur A_{\lambda}.
Équation aux dérivées partielles
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une fonction de classe {{\mathcal C}^{1}}.
On cherche les fonctions {u} de classe {{\mathcal C}^{2}} telles que :
{\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\ \text{et}\ u(0,x) = u_{0}(x)}
Soit {u_{0}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} une fonction de classe {{\mathcal C}^{1}}.
On cherche les fonctions {u} de classe {{\mathcal C}^{2}} telles que :
{\dfrac{\partial u}{\partial t} + 2tx\dfrac{\partial u}{\partial x} = 0\ \text{et}\ u(0,x) = u_{0}(x)}
Fonction continue non C1
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f} définie sur \mathbb{R}^2 par {f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}} si {(x,y)\ne (0,0)}, et {f(0,0) = 0}.
La fonction {f} est-elle de classe {{\mathcal C}^{1}}?
Soit {f} définie sur \mathbb{R}^2 par {f(x,y) =\dfrac{x^{4}y}{x^{4}+y^{2}}} si {(x,y)\ne (0,0)}, et {f(0,0) = 0}.
La fonction {f} est-elle de classe {{\mathcal C}^{1}}?
Un calcul d’extremums
(Oral Mines-Ponts Psi)
Préciser les extremums sur {\mathbb{R}^{3}} de {f(x,y,z)=x^{2}\!+\!y^{2}\!+\!z^{2}\!- \!2xyz}.
Préciser les extremums sur {\mathbb{R}^{3}} de {f(x,y,z)=x^{2}\!+\!y^{2}\!+\!z^{2}\!- \!2xyz}.