Un problème de minmax

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Question 1
Soient {f,g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} dérivables. On pose : {\forall\, x \in \mathbb{R}, \; m(x)=\max (f(x),g(x))}À quelle condition (nécessaire et suffisante) {m} est-elle dérivable en {a\in\mathbb{R}}?
Comment chercher les minima locaux de {m} ?
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Soient {f,g\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}}, de classe {{\mathcal C}^1}.

On pose encore {m=\max (f,g)}. On note : {\begin{cases}U = \{ (x,y),\;f(x,y)>g(x,y) \}\\V = \{ (x,y) ,\;f(x,y)\lt g(x,y) \}\\C=\{ (x,y),\;f(x,y)=g(x,y) \}\end{cases}}On suppose que la fonction {m} admet un minimum local au point {A \in \mathbb{R}^2}.

Question 2.a
Que peut-on dire lorsque {A} appartient à {U} ou à {V} ?
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Dans la suite de cette question (2), on suppose que {A} appartient à {C}. On note {v_{1}} le gradient de {f} en {A} et {v_{2}} le gradient de {g} en {A}.

Question 2.b
On suppose qu’il existe {u\in\mathbb{R}^{2}} tel que {\left(u\mid v_1\right)>0} et {\left(u\mid v_2\right)>0}.
Étudier la fonction {t \mapsto m(A+tu)} autour de {0} et arriver à une contradiction.
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Question 2.c
En déduire qu’il existe {\alpha\ge0,\beta\ge0} non tous les deux nuls tels que {\alpha v_1 + \beta v_2= 0}
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Question 3.a
Soient {v_1,\cdots,v_k} dans {\mathbb{R}^n} tels qu’il n’existe pas de{u\in\mathbb{R}^n} tel que {\left(u\mid v_i\right) >0} pour tout {i\in\llbracket1,k\rrbracket}.
Montrer que la famille {(v_1,\cdots,v_k)} est liée.
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Question 3.b
Généraliser la question {2} au cas de {m=\max(f_1,\ldots,f_p)}{f_1,\ldots,f_p\in {\mathcal C}^1(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})}.
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