Un problème d’extrema liés

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On note {x} les éléments {(x_1,\ldots,x_n)} de {\mathbb{R}^n}.

Soit {n\ge2} un entier. On note : {\begin{cases} \mathcal{K}_{n} =\{x\in (\mathbb{R}^{+})^{n}\ /\ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=1\}\\[6pt]\mathcal{T}_{n} =\{x\in (\mathbb{R}^{+*})^{n}\ /\ x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=1\}\end{cases}}On définit la fonction :{f_{n} :\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R},\ x\mapsto\!\!\!\displaystyle\sum_{1\leqslant i\lt j\leqslant n}\!\!\!x_{i}x_{j}(x_{i}^{2}+x_{j}^{2})}

Question 1
Justifier l’existence de {M_{n}=\max\limits_{x\in \mathcal{K}_{n}}f_{n}(x)}.
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Question 2
Déterminer la valeur de {M_{2}}.
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Question 3.a
On suppose : {\exists\,m_{0}\in \mathcal{T}_{n},\;f_{n}(m_{0})=M_n}

Montrer que : {\forall\,x\in (\mathbb{R}^{+*})^{n},\ f_{n}(x)\le f_{n}(m_{0})\Big(\displaystyle\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}\Big) ^{4}}

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Question 3.b
En déduire que {\text{grad}f_{n}(m_{0})} et {v=(1,1,\ldots,1)} sont colinéaires.
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Question 4
Montrer que {M_{n}=\dfrac{1}{8}} pour tout {n\ge2}.
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