Espaces euclidiens

Exercices corrigés sur le thème « espaces euclidiens » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}.
Soit {E} l’ensemble des vecteurs propres unitaires de {A}. Pour {X\in E}, on pose :{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}Montrer que {m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}.

Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans {\mathbb{R}^n}, soit {v_{1}\ldots,v_{n+1}} avec {(v_{i}\mid v_{j})=-1} si {i\neq j}.
Soit {w_{1},\ldots,w_{n+1}} tels que {(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})} pour tous {i,j}. Montrer qu’il existe un unique {u\in O(\mathbb{R^n})} tel que {u(v_{i})=w_{i}} pour tout {i}.