Exercices corrigés sur le thème « espaces euclidiens » pour les classes de Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines-Ponts, Centrale, Ccp, etc.)
(Oral Centrale) Soit {A} une matrice symétrique réelle, et {B} une sous-matrice principale de {A}. On montre que si {B} est à spectre simple, alors il en est de même de {A}, et les valeurs propres de {B} séparent celles de {A}.
(Oral Centrale) On étudie la fonction qui au réel {t} associe la valeur propre maximum de {u+tv,}, où {u} et {v} sont deux endomorphismes symétriques de {E} euclidien.
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).
(Oral Centrale) On considère la forme quadratique {q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}, avec {rt-s^2=3/4}, et on montre qu’il existe {(x,y)\in\mathbb{Z}^2} tel que {|q(x,y)|\le 1}.
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de {p} points.
(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle {M} obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de {M} pour qu’elle soit positive ou définie-positive.
(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle {A} s’écrit {A=RS}, avec {R} orthogonale positive et {S} symétrique.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {X,Y} deux v.a.r. à valeurs dans {[[1,n+1]]}, avec :{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}Loi de {X}? {X,Y} sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice {M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})} de coefficients {m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}.
Soit {E} l’ensemble des vecteurs propres unitaires de {A}. Pour {X\in E}, on pose :{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}Montrer que {m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}.
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, avec {E} euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième : {(i)} : {u} est une isométrie {(ii)} : {u^{2}=-\text{Id}} {(iii)} : {\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}.
(Oral Mines-Ponts)
Soient {F,G} deux sous-espaces de {E} euclidien.
Montrer que {F} et {G} sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}
Soit {\mathbb{R}^{3}} euclidien, muni de la base canonique.
Soit {P} le plan vectoriel orthogonal à {n=(1,1,1)}.
Donner la matrice {A} de la projection orthogonale {\pi} sur {P}.
(Oral Mines-Ponts) Soit {A} dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} et {S} dans {\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}. Montrer : ({SAS} symétrique définie positive) {\Leftrightarrow} ({A} symétrique définie positive, et {S} inversible).
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}, définie positive.
Montrer que, pour tout {X\in \mathbb{R}^{n}} : {\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A} une matrice de {\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})} telle que {A^{\top}=A^{2}}
Étudier la diagonalisation de {M=A^{\top}A}.
Montrer que {A} est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.
(Oral Centrale 2018)
On munit {\mathbb{R}^n} et {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})} de leur produit scalaire canonique.
Trouver les {P\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})} telles que {M\mapsto P^{-1}MP} soit une isométrie.