Espaces euclidiens
Exercices corrigés sur le thème « Espaces euclidiens »

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute matrice symétrique réelle dont les sous-matrices principales sont à déterminant strictement positif est congruente à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs (sans recours au théorème spectral bien sûr).

➡️

Minimiser une forme quadratique sur ℤxℤ

(Oral Centrale) On considère la forme quadratique

{q(x,y)=rx^2+2sxy+ty^2}

, avec

{rt-s^2=3/4}

, et on montre qu’il existe

{(x,y)\in\mathbb{Z}^2}

tel que

{|q(x,y)|\le 1}

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Somme des distances à une droite

(Oral Centrale) Dans cet exercice, on voit comment déterminer la droite qui minimise la somme des carrés des distances à une famille donnée de

{p}

points.

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Rang et positivité d’une matrice symétrique

(Oral Centrale) On considère une matrice symétrique réelle

{M}

obtenue par bordures successives. On détermine des conditions sur les coefficients de

{M}

pour qu’elle soit positive ou définie-positive.

➡️

Décomposition polaire par minimisation

(Oral Centrale) On prouve, par un argument de minimisation, que toute matrice réelle

{A}

s’écrit

{A=RS}

, avec

{R}

orthogonale positive et

{S}

symétrique.

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Polynômes scindés simples

(Oral Centrale). On détermine des conditions nécessaires pour qu’un polynôme à coefficients réels soit scindé simple.

➡️

Probabilités et diagonalisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{X,Y}

deux v.a.r. à valeurs dans

{[[1,n+1]]}

, avec :

{\mathbb{P}(X=i,Y=j)=\dfrac{1}{4^{n}}\dbinom{n}{i-1}\dbinom{n}{j-1}}

Loi de

{X}

{X,Y}

sont elles indépendantes ?
Diagonaliser la matrice

{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})}

de coefficients

{m_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}

➡️

Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}

une matrice symétrique.
Soit

{\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}

.
Soit

{E}

l’ensemble des vecteurs propres unitaires de

{A}

. Pour

{X\in E}

, on pose :

{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}

Montrer que

{m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}

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Conditions pour une isométrie

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{u\in\mathcal{L}(E)}

, avec

{E}

euclidien.
Montrer que deux propriétés entraînent la troisième :

{(i)}

{u}

est une isométrie

{(ii)}

{u^{2}=-\text{Id}}

{(iii)}

{\forall\,x\in E,\;(u(x)\mid x) =0}

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Distance à deux supplémentaires

(Oral Mines-Ponts)
Soient

{F,G}

deux sous-espaces de

{E}

euclidien.
Montrer que

{F}

{G}

sont supplémentaires orthogonaux si et seulement si :

{\forall\, x\in E,\;\|x\|^{2}=d(x,\ F)^{2}+d(x,\ G)^{2}}

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Projection orthogonale sur un plan

Soit

{\mathbb{R}^{3}}

euclidien, muni de la base canonique.
Soit

{P}

le plan vectoriel orthogonal à

{n=(1,1,1)}

.
Donner la matrice

{A}

de la projection orthogonale

{\pi}

sur

{P}

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SAS définie positive ?

(Oral Mines-Ponts) Soit

{A}

dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

{S}

dans

{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

. Montrer : (

{SAS}

symétrique définie positive)

{\Leftrightarrow}

(

{A}

symétrique définie positive, et

{S}

inversible).

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Inverse d’une matrice définie positive

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A\in S_{n}(\mathbb{R})}

, définie positive.
Montrer que, pour tout

{X\in \mathbb{R}^{n}}

{\| X\|^{4}\leq (X^{\top}AX)(X^{\top}A^{-1}X)}

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Matrices telles que A^T = A^2

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{A}

une matrice de

{\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})}

telle que

{A^{\top}=A^{2}}

Étudier la diagonalisation de

{M=A^{\top}A}

.
Montrer que

{A}

est orthogonalement semblable à l’une des cinq matrices indiquées.

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Isométries de l’espace

Cinq exercices sur le thème « isométries de l’espace ».

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Spectre des matrices orthogonales

Soit

{A}

dans

{O_{n}(\mathbb{R})}

et soit

{\lambda}

une valeur propre complexe de

{A}

.
Montrer que

{|\lambda|=1}

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Orthogonalité de M ⟼ P^-1MP

(Oral Centrale 2018)
On munit

{\mathbb{R}^n}

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

de leur produit scalaire canonique.
Trouver les

{P\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}

telles que

{M\mapsto P^{-1}MP}

soit une isométrie.

➡️

Matrice ortho-trigonalisable

(Oral Centrale 2018)
Soit

{M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

avec

{\chi_{M}}

scindé dans

{\mathbb{R}[X]}

. Montrer qu’il existe

{R\in O(n)}

telle que

{R^{T} MR}

soit triangulaire supérieure.

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Racine carrée de matrice symétrique

(Oral Centrale 2018)
Soit

{M\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

{\{\mu_{1},\ldots,\mu_{p}\}}

ses valeurs propres distinctes. Montrer :

{\exists\,P\in\mathbb{R}_{p-1}[X],\;P(M)^{2}=M}

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Matrice et inégalité « à la Bessel »

(Oral Centrale 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

telle que

{\|AX\|\leq \|X\|}

pour tout

{X}

Soit

{X\in E}

{Y=A^{T}X}

. Montrer que

{(A^{T}X\mid Y)=\|Y\|^{2}}

{\|Y\|\leq\|X\|}

On suppose qu’il existe

{X\in E}

tel que

{AX=X}

. Montrer que

{A^{T}X=X}

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Vecteurs obtusangles

(Oral Centrale 2018)
Dans

{\mathbb{R}^n}

, soit

{v_{1}\ldots,v_{n+1}}

avec

{(v_{i}\mid v_{j})=-1}

{i\neq j}

.
Soit

{w_{1},\ldots,w_{n+1}}

tels que

{(v_{i}\mid v_{j})=(w_{i}\mid w_{j})}

pour tous

{i,j}

. Montrer qu’il existe un unique

{u\in O(\mathbb{R^n})}

tel que

{u(v_{i})=w_{i}}

pour tout

{i}

➡️

Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S⁺(E)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

euclidien et

{u\in S^{+}(E)}

l’ensemble des endomorphismes symétriques à spectre inclus dans

{\mathbb{R}^{+}}

Soit

{u}

{v\in S^{+}(E)}

. Montrer que

{\text{Ker}(u+v)=\text{Ker}(u)\cap\text{Ker}(v)}

{\text{Im}\,(u+v)=\text{Im}\,(u)+\text{Im}\,(v)}

➡️

Moyenne des itérées d’une isométrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, soit

{a\in\text{O}(\mathbb{R}^{n})}

.
Montrer que

{\mathbb{R}^{n}=\text{Ker}\,(a-\text{Id})\oplus \text{Im}\,(a-\text{Id})}

.
Étudier la suite

{N\mapsto b_{N}=\dfrac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{N-1}a^{k}}

➡️

det(u+v) ≥ det(u) + det(v)

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{E}

{\mathbb{R}}

-espace euclidien, et

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

tels que :

{\forall\,x\in E,(u(x)\mid x)\geq 0\;\text{et}\;(v(x)\mid x)\geq 0}

Montrer que

{\det (u+v)\geq \det u+\det v}

.
Étudier le cas d’égalité.

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Une condition d’antisymétrie

(Oral Mines-Ponts 2018)
Montrer que

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

est antisymétrique si et seulement si :

{(\star)\ \forall\, P\in O(n),\;P^{-1}AP}

est à diagonale nulle.

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Équation matricielle M M^T M = I_n

(Oral Mines-Ponts 2018)
Résoudre

{M\,M^{T}M=I_{n}}

dans

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

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Orthogonale ⇆ antisymétrique

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}

antisymétrique.
Montrer que

{M=(I_{n}+A)^{-1}(I_{n}-A)}

est orthogonale positive.
Montrer que

{A=(I_{n}+M)^{-1}(I_{n}-M)}

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Tr(uv), avec u,v symétriques positifs

(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit

{u,v}

deux endomorphismes symétriques de

{E}

euclidien. On suppose que

{u,v}

sont à spectre positif. Montrer que

{\text{tr}(uv)\geq 0}

➡️

{\mathbb{R}^n}

, résolution de

{Ax=b}

par la méthode du gradient à pas constants.

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Matrices de Householder

(Oral Centrale Mp)
Matrices de Householder pour a décomposition QR

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Produit de Hadamard dans S_n,+(ℝ)

(Oral X-Cachan)
Un exercice sur le produit de Hadamard dans

{S_n^+(\mathbb{R})}

➡️

{\mathbb{R}^3}

euclidien orienté.
Trouver les endomorphismes

{f}

tels que :

{\forall\; u,v\in \mathbb{R}^3,\;f(u\wedge v)=f(u)\wedge f(v)}

➡️

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

muni du produit scalaire

{\left({A}\!\mid\!{B}\right)\!=\!\text{tr}({A}^{\!\top}B)}

Pour quelles matrices

{M}

l’application

{A\mapsto AM}

est-elle une isométrie?

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Matrice orthogonale et inégalités

Soit

{A=(a_{ij})}

une matrice orthogonale d’ordre

{n}

.
Prouver que:

{\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\le n\sqrt n\;}

{\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\le n}

➡️