Polynômes scindés simples

Exercice (oral Centrale/Supélec)

Soit {P(X)=X^n+a_{n-1} X^{n-1}+\cdots+a_0 \in \mathbb{R}[X]}.

On suppose que les racines {\alpha_1,\cdots,\alpha_n} de {P} sont toutes réelles.

Pour {k \in \mathbb{N}}, on note {S_k=\displaystyle\sum_{i=1}^n \alpha_i^k}.

Question 1.a
Soit {M=\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}}.

Montrer que le polynôme caractéristique de {M} est {\chi_{M}=P} et en déduire l’expression de {S_k} en fonction de {M^k}

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Question 1.b
Dans cette question, on suppose que {P(X)=X^3+aX^2+bX+c}Donner une relation entre {S_{k+2},S_{k+1}\;\text{et}\;S_{k}}.
Calculer {S_0,\cdots,S_4} en fonction de {a,b,c}.
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Soit {H_n=(S_{i+j-2})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

Soit {A=(\alpha_i^{j-1})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

Question 2.a
Calculer {{A}^{\top} A}. En déduire : {\text{rang}(H_n)=\text{rang}(A)}.
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Question 2.b
Montrer que le rang de {H_n} est le nombre de racines distinctes de {P}.
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Question 2.c
Montrer que si {P} a toutes ses racines simples alors pour tout {k \in \{1,\cdots,n\}}, {\det H_k >0}.
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Question 3
Donner des conditions nécessaires pour que le polynôme réel {P(X)=X^3+bX+c} soit scindé à racines simples sur {\mathbb{R}}.
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