| (Oral Mines-Ponts) On note {\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})} l’ensemble {\{M\in S_n(\mathbb{R}),\forall\,X\ne0\in\mathbb{R}^n,\;(MX\mid X)>0\}}On rappelle le résultat suivant : {\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})=\{M\in S_n(\mathbb{R}),\;\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^{+*}\}}Soit {S\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}),\;A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} et {B=SAS}. Montrer que {B\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})} si et seulement si {S} est inversible et {A\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})}. |