| (Oral Mines-Ponts) On note {\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})} l’ensemble {\{M\in S_n(\mathbb{R}),\forall\,X\ne0\in\mathbb{R}^n,\;(MX\mid X)>0\}}On rappelle le résultat suivant : {\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})=\{M\in S_n(\mathbb{R}),\;\text{Sp}(M)\subset\mathbb{R}^{+*}\}}Soit {S\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R}),\;A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} et {B=SAS}. Montrer que {B\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})} si et seulement si {S} est inversible et {A\in\mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})}. |
Voir aussi :
- Orthogonalité de M → AM
- Inégalité entre trace et rang
- Ker(u+v) et Im(u+v) pour u,v dans S+(E)
- Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
- Réduction d’une matrice symétrique
- Diagonalisabilité de A^2
- Probabilités et diagonalisation
- Moyenne des itérées d’une isométrie
- Endomorphisme et produit vectoriel
- det(u+v) ≥ det(u) + det(v)