Somme des distances à une droite

Exercice (oral Centrale/Supélec)

On se place dans {\mathbb{R}^n}, muni de son produit scalaire canonique noté {(u,v)\mapsto\left(u\mid v\right)}.

On note {u\mapsto\left\|u\right\|} la norme associée.

Les éléments de {\mathbb{R}^n} sont indifféremment considérés comme des points ou des vecteurs.

Soit {D_{a,u}=\{x=a+tu,\;t\in\mathbb{R}\}} la droite passant par le point {a} et dirigée par un vecteur unitaire {u}.

Pour tout point {m}, on note :{d(m,a,u)=\displaystyle\min_{x\in D_{a,u}}\left\|m-x\right\|} la distance de {m} à {D_{a,u}}.

On se pose le problème {(P)} suivant : « étant donné {p} points {m_{1},\ldots,m_{p}} de {\mathbb{R}^n}, déterminer la droite {D_{a,u}} minimisant {\displaystyle\sum_{k=1}^{p}d^{\,2}(m_{k},a,u)} »
Quitte à faire une translation, on suppose {\displaystyle\sum_{k=1}^{p}m_{k}=0}.

Les vecteurs {u} considérés ici sont unitaires.

Question 1.a
Montrer l’égalité {d^{\,2}(m,a,u)=\left\|m-a\right\|^2-\left(m-a\mid u\right)^2}
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Question 1.b
Avec {b=a-\left(a\mid u\right)u}, prouver que :{d^{\,2}(m,a,u)=d^{\,2}(m,0,u)\!+\!d^{\,2}(a,0,u)\!-\!2\left(m\mid b\right)}
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Question 1.c
En déduire que pour résoudre le problème {(P)}, on doit supposer {a=0}.
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Question 2.a
On définit {u\mapsto\varphi(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(m_{k}\mid u\right)^2} sur l’ensemble des vecteurs unitaires de {\mathbb{R}^{n}}.
Montrer que résoudre {(P)}, c’est maximiser {\varphi}
sur l’ensemble des vecteurs unitaires {u}.
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Question 2.b
On note {M} la matrice de {m_{1},m_{2},\ldots,m_{p}} dans la base canonique {(e)} de {\mathbb{R}^n}.
On note {U} le vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur unitaire {u} dans la base {(e)}.
Montrer que {\varphi(u)={}^{t}U\,S\, U}, où {S=M\,{}^{t}\!M}.
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Question 2.c
Montrer qu’il existe une base orthonormale {(\varepsilon)} de {\mathbb{R}^n} dans laquelle (en notant {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} les composantes de {u}) on a : {\varphi(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\,x_{k}^2\;\text{avec}\;\lambda_{1}\!\ge\! \!\cdots\!\ge\!\lambda_{n}\!\ge\! 0}
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Question 2.d
En déduire les vecteurs unitaires {u} qui maximisent {\varphi}.
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