Exercice (oral Centrale/Supélec)
On se place dans {\mathbb{R}^n}, muni de son produit scalaire canonique noté {(u,v)\mapsto\left(u\mid v\right)}.
On note {u\mapsto\left\|u\right\|} la norme associée.
Les éléments de {\mathbb{R}^n} sont indifféremment considérés comme des points ou des vecteurs.
Soit {D_{a,u}=\{x=a+tu,\;t\in\mathbb{R}\}} la droite passant par le point {a} et dirigée par un vecteur unitaire {u}.
Pour tout point {m}, on note :{d(m,a,u)=\displaystyle\min_{x\in D_{a,u}}\left\|m-x\right\|} la distance de {m} à {D_{a,u}}.
On se pose le problème {(P)} suivant : « étant donné {p} points {m_{1},\ldots,m_{p}} de {\mathbb{R}^n}, déterminer la droite {D_{a,u}} minimisant {\displaystyle\sum_{k=1}^{p}d^{\,2}(m_{k},a,u)} »
Quitte à faire une translation, on suppose {\displaystyle\sum_{k=1}^{p}m_{k}=0}.
Les vecteurs {u} considérés ici sont unitaires.
| Question 1.a Montrer l’égalité {d^{\,2}(m,a,u)=\left\|m-a\right\|^2-\left(m-a\mid u\right)^2} |
| Question 1.b Avec {b=a-\left(a\mid u\right)u}, prouver que :{d^{\,2}(m,a,u)=d^{\,2}(m,0,u)\!+\!d^{\,2}(a,0,u)\!-\!2\left(m\mid b\right)} |
| Question 1.c En déduire que pour résoudre le problème {(P)}, on doit supposer {a=0}. |
| Question 2.a On définit {u\mapsto\varphi(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(m_{k}\mid u\right)^2} sur l’ensemble des vecteurs unitaires de {\mathbb{R}^{n}}. Montrer que résoudre {(P)}, c’est maximiser {\varphi} sur l’ensemble des vecteurs unitaires {u}. |
| Question 2.b On note {M} la matrice de {m_{1},m_{2},\ldots,m_{p}} dans la base canonique {(e)} de {\mathbb{R}^n}. On note {U} le vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur unitaire {u} dans la base {(e)}. Montrer que {\varphi(u)={}^{t}U\,S\, U}, où {S=M\,{}^{t}\!M}. |
| Question 2.c Montrer qu’il existe une base orthonormale {(\varepsilon)} de {\mathbb{R}^n} dans laquelle (en notant {x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}} les composantes de {u}) on a : {\varphi(u)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\,x_{k}^2\;\text{avec}\;\lambda_{1}\!\ge\! \!\cdots\!\ge\!\lambda_{n}\!\ge\! 0} |
| Question 2.d En déduire les vecteurs unitaires {u} qui maximisent {\varphi}. |