Double minimisation

(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in\mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})} une matrice symétrique.
Soit {\rho (A)=\max \{|\lambda|,\;\lambda \in\text{Sp}(A)\}}.
Soit {E} l’ensemble des vecteurs propres unitaires de {A}. Pour {X\in E}, on pose :{\begin{cases}F(A,X)=\inf \left\{\text{tr}(A-\mu\,XX^{\top})^{2},\;\mu\in\mathbb{R}\right\}\\[6pt]m(A)=\inf \{F(A,X),X\in E\}\end{cases}}Montrer que {m(A)=\text{tr}\left(A^{2}\right) -\rho\left(A^{2}\right)}.
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