Orthogonales et triangulaires à la fois
Montrer que dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, les seules matrices à la fois orthogonales et triangulaires sont les matrices diagonales à coefficients diagonaux égaux à {\pm 1}.
Espaces euclidiens
Distance à un sous-espace
Dans un espace euclidien E, on introduit la notion de matrice de Gram d’une famille de vecteurs.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
On voit ensuite comment la distance d’un vecteur x à un sous espace F de E s’exprime comme le quotient des déterminants de deux matrices de Gram.
Éléments propres de M quand MMT=MTM
Soit {M\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {M{M}^{\top}={M}^{\top}M}.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Montrer que {M,{M}^{\top}} ont mêmes sev propres, et qu’ils sont orthogonaux deux à deux.
Noyau de M+MT quand M2=0
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, telle que {M^{2}=0}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Montrer que {\text{Ker}(M+{M}^{\top})=\text{Ker}(M)\cap\text{Ker}({M}^{\top})}.
Conservation de l’orthogonalité
Soit {E} un espace vectoriel euclidien, et soit {f\in{\mathcal L}(E)}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
On suppose que : {\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}
Montrer : {\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}.
Procédé de Gram-Schmidt
On munit {\mathbb{R}_4[X]} de {\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique {1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}.
Inégalités entre traces
Soit {A,B} deux matrices symétriques réelles d’ordre {n}.
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Montrer que {\bigl(\text{tr}(AB)\bigr)^{2}\le\text{tr}(A^{2})\,\text{tr}(B^{2})}.
Qu’obtient-on par exemple si {B=I_{n}}? Cas d’égalité?
Deux isométries de l’espace
(Oral Ccp)
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Identifier {\dfrac13\begin{pmatrix} 1&-2&2\\ -2&1&2\\ 2&2&1\end{pmatrix}} et {\dfrac19\begin{pmatrix}8&1&-4\\-4&4&-7\\1&8&4\end{pmatrix}}
Matrice de projection orthogonale
Matrice de la projection orthogonale de {\mathbb{R}^{4}} sur {F:\begin{cases}x+y+z+t=0\\x-y+z-t=0\end{cases}}
Base dont l’image est orthogonale
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Soit {u\in\mathcal{L}(E)}, où {E} est euclidien. Prouver l’existence d’une base {(e_{1},\ldots ,e_{n})} de {E} telle que la famille {(u(e_{1}),\cdots,u(e_{n}))} soit orthogonale.
Un problème de minimisation
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})} à valeurs propres strictement positives.
Soit {B\in \mathbb{R}^{n}}, et {f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}} définie par {f(X)={X}^{\top}A\,X-2\,{B}^{\top}X}.
Montrer que {f} possède un minimum et le déterminer.
Une matrice symétrique positive
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
Soit {f\colon[0,1]\to\mathbb{R}^+} continue. Soit {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{ij}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{i+j-2}f(t)\,\text{d}t}. Montrer que {\text{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^+}.
(f(x)|f(y))=(x|y) implique f linéaire
(Oral X-Cachan)
Soit {({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}} un espace euclidien.
Soit {f:E\rightarrow E} telle que {\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}, {\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}.
Montrer que {f} est linéaire.
Soit {({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}} un espace euclidien.
Soit {f:E\rightarrow E} telle que {\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}, {\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}.
Montrer que {f} est linéaire.
Spectre de MT M et de M MT
(Oral XCachan)
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Soit {M\in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})}.
Comparer le spectre de {{M}{M}^{\top}} et de {{M}^{\top}M}.
Réduction d’une matrice symétrique
(Oral Ccp)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} avec {a_{i,i}=4} et {a_{i,j}=1} si {i\ne j}.
Diagonaliser A dans le groupe orthogonal.
Un endomorphisme symétrique
(Oral Ccp)
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
On se place dans {\mathbb{R}_{n}[X]}, muni de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}PQ}.
Soit {\varphi\,\colon P\mapsto(2X\!-\!1)P'\!+\!(X^{2}\!-\!X)P''}.
Montrer que {\varphi} est symétrique.
Identifier une transformation de ℝ³
(Oral Ccp)
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Transformation associée à {M=\dfrac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\-2&1&-2\\-1&2&2\end{pmatrix}}?
Minimum de (f(x)|x)
(Oral Ccp)
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Soit f un endomorphisme symétrique de E euclidien.
On caractérise les vecteurs x unitaires qui minimisent \bigl(f(x)\mid x\bigr).
Un endomorphisme symétrique de ℝn[X]
On munit {\mathbb{R}_{n}[X]} de {\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{2}P(t)Q(t)\,\text{d}t}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
Étudier l’endomorphisme {P\mapsto u(P)=X(1-X)P''+(3-4X)P'}.
M → AM-MA avec A symétrique réelle
(Oral Tpe)
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Soient {A \in S_{n}(\mathbb{R})} et {\varphi\in{\mathcal L}({\mathcal M}_{n}(\mathbb{R}))} défini par : {\varphi(M) = AM -MA}. Former une base orthonormale de diagonalisation de {\varphi}. Que vaut {\text{rg}(\varphi)}?
Un endomorphisme symétrique
(Oral Tpe)
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Soit u un vecteur unitaire de {E} euclidien, et soit {a \in\mathbb{R}^{*}}.
On étudie l’endomorphisme {f_{a}} de E défini par {f(x)= x + a\left({u}\mid{x}\right)u}.
Inégalité entre trace et rang
(Oral Ccem)
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Soit {A\in S_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que {\text{tr}(A)^{2}\le \text{rg}(A)\,\text{tr}(A^{2})}.
Matrices telles que : A AT A = In
(Oral Ensea)
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
Chercher les matrices {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{R})} telles que {A\,{A}^{\top}A = I_{n}}. Et dans {{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})}?
A nilpotente réelle commutant avec AT
(Oral Mines-Ponts et Ensam)
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Déterminer {A\in{\mathcal M}_n(\mathbb{R})} nilpotente et telle que {A^{\top}A=A\,A^{\top}}.
Diagonalisabilité de A^2
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Soit {A\in{\mathcal M}_{n}(\mathbb{C})} une matrice telle que {A^{2}} soit diagonalisable.
Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\text{Ker}(A)=\text{Ker}(A^{2})}.
Étudier le cas où la matrice A est antisymétrique réelle.
Endomorphisme et produit vectoriel
(Oral Mines-Ponts)
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Soit {u} dans {E} euclidien orienté de dimension {3}.
Déterminer les {f\in\mathcal{L}(E)} tels que {x\wedge u} et f(x) sont liés pour tout {x\in E}.
Réflexions conjuguées
(Oral Mines-Ponts)
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.
Soient {H_{1}, H_{2}} deux hyperplans de {E} euclidien. On note {s_{i}} la réflexion par rapport à {H_{i}}.
Montrer que {s_{1}s_{2}=s_{2}s_{3}}, où {s_{3}} est la réflexion par rapport à {H_{3}=s_2(H_1)}.
Trace et matrices orthogonales
(Oral Ccp)
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Si {\Omega\in O(n)} et {S\in S_{n}(\mathbb{R})}, avec {\text{Sp}(S)\subset\mathbb{R}^{+}}, alors {\text{tr}(\Omega S)\le\text{tr}(S)}.
Trace et endomorphismes symétriques
(Oral CCInp)
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Si f,g sont symétriques positifs, alors {0\le \text{tr}(gf)\le \text{tr}(g)\text{tr}(f)}.
Produit scalaire et déterminant
(Oral Ccp)
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Soit {A\in\text{GL}_{n}(\mathbb{R})}. Montrer que : {\forall x\in\mathbb{R},\;1 +\left(x \mid A^{-1}x\right) =\dfrac{\det(x\,{x}^{\top}+A)}{\det(A)}}.
Valeurs propres extrémales
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Une symétrie orthogonale
(Oral Centrale)
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Soit {F\subset\mathbb{R}^{4}} d’équations {\begin{cases}x - y - z + t = 0\\2x - z - t = 0\end{cases}}
Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport à {F}.
Matrices à diagonale propre
(Oral Centrale)
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
On dit que {A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})} vérifie {(\mathcal{P})} si ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux. Dans cet exercice, on étudie des conditions pour que cette propriété {(\mathcal{P})} soit vérifiée.
Minimum d’une forme quadratique
(Oral X-Cachan Psi)
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
On se donne un produit scalaire sur \mathbb{R}^n, un vecteur v de \mathbb{R}^n, une matrice A de \mathcal{M}_n(\mathbb{R)}, et f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} définie par {f(X)=\dfrac{1}{2}\left\|D_{1}X\right\|^{2}-\left(V\mid X\right)}.
On montre que f possède un minimum absolu sur \mathbb{R}^n et en on calcule la valeur.
Conservation du volume
Dans {E} euclidien de dimension {n}, soit {d\in\{1,\ldots,n\}}.
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Si {x\in E^d} est liée, on pose {m(x) =0}.
Sinon, soit {\mathcal{B}} une base orthonormale de {\text{Vect}(x)}.
On pose alors {m(x) =\left|\det_{\mathcal{B}}(x)\right|}.
Soit {X_{d}} l’ensemble des endomorphismes de E tels que :
{\forall x\in E^{d},\; m(f(x_{1}),\ldots,f(x_{d})) = m(x)}L’objectif de l’exercice est de prouver que {X_{d}=O(E)}
Un système différentiel matriciel
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Soit {A_{0}\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} symétrique, et {B\in\mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} antisymétrique.
Soit l’équation {(E)} : {A'(t) = A(t)B - BA(t)} où {A(t)\in \mathcal{M}_{d}(\mathbb{R})} et {A(0) = A_{0}}.
On va montrer que la matrice {A(t)} reste semblable à {A_0}.
Matrices de trace nulle (bis!)
(Oral Centrale)
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Soit {M} dans {\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})}, avec {n\ge1}, telle que {\text{tr}(M)=0}.
Montrer qu’il existe {P\in O(n)} telle que {P^{\top}MP} soit de diagonale nulle.
Somme de projecteurs orthogonaux
(Oral Centrale)
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.
Soient {p} et {q} deux projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien {E}.
1. Montrer que le polynôme caractéristique de {u = p + q} est scindé.
2. Montrer que {\text{Sp}(u)\subset[0,2]}.
3. Déterminer {\text{Ker}(u)} et {\text{Ker}(u - 2\text{Id})}.