Itérées d’une transformation du plan

(oral Centrale)
On se place dans le plan euclidien usuel. Soit {\Phi} l’application qui envoie l’origine sur l’origine, et le point {M = (a,b)\ne(0,0)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}.

  1. Exprimer les coordonnées {(a',b')} de {\Phi(M)} en fonction de {a} et {b}.
  2. Étudier la suite {(M_{n})} définie par {M_{0}=M} et {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.

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