Suites
QCM (suites numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites numériques ».
Vrai/Faux (suites numériques)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les suites numériques (convergence, suites extraites, calculs de limite, suites bornées, etc.)
Quiz (implications et équivalences)
Un Quiz de 10 questions où il s’agit de dire les liens logiques éventuels (implication, équivalence) qui existent entre deux propositions mathématiques données.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Suites harmoniques et logarithme
(Oral Centrale)
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Suites lentement convergentes
(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Limite d’une suite de points fixes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Suites arithmétiques ou géométriques (2)
Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques ».
Logique et suites numériques
On étudie ici les liens logiques entre propriétés des suites de réels, ainsi que l’utilisation des quantificateurs pour décrire ces propriétés.
Convergence cubique d’un produit infini
(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini
Convergence cubique d’un produit infini
Somme des inverses des « k parmi n »
Accélération de convergence (Aitken)
(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a
(oral Centrale Mp)
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Suite presque toujours périodique
(oral Centrale Mp)
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Sommes de Riemann (3/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (3/3)
Sommes de Riemann (2/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (2/3)
Sommes de Riemann (1/3)
Exercices sur le thème « Sommes de Riemann » (1/3)
Suites définies par récurrence (3/3)
Exercices sur le thème « suites définies par récurrence » (3/3)
Suites définies par récurrence (2/3)
Exercices sur le thème « suites définies par récurrence » (2/3)
Suites définies par récurrence (1/3)
Exercices sur le thème « suites définies par récurrence » (1/3)
Suites arithmétiques ou géometriques
Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques »
Suites adjacentes
Exercices sur le thème « suites adjacentes »
Limites de suites monotones
Exercices sur le thème « Limites de suites monotones ».
Limites de suites par encadrement
Exercices sur le thème « Limites de suites par encadrement »
Généralités sur les limites de suites
Exercices sur le thème « généralités sur les suites numériques »
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Récurrence vectorielle
Deux suites adjacentes
(oral Ccp)
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Montrer que {n\mapsto 2\sqrt{n}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} et {n\mapsto 2\sqrt{n\!+\!1}-\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt k}} sont adjacentes.
Équivalent d’une somme
(oral Ccp)
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Soit u_n l’unique solution réelle de nx^{3}+n^{2}x=2.
Étudier {(u_{n})_{n\ge1}}, puis la convergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1} u_{n}^{\alpha}} selon {\alpha}.
Une récurrence linéaire d’ordre 3
(Oral Ccp)
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Étude des suites de \mathbb{C}^{\mathbb{N}} telles que \forall\, n\in\mathbb{N},\;4u_{n+3}=3u_{n+2}+6u_{n+1}+4u_{n}.
Décomposition en suites monotones
(oral Mines-Ponts)
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Soit {u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}}. Montrer qu’il existe des suites {v}, {w} respectivement croissante et décroissante telles que {u=v+w}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Suites C-convergentes
(oral Centrale)
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Une suite {(u_{n})} est dite C-convergente si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}(u_{1}+\cdots+ u_{n})=0}.
Donner un exemple de suite {C}-convergente non convergente.
Montrer qu’une suite tendant vers {0} est {C}-convergente.
Soit {\alpha\in\,]0, 1[}. Montrer que la suite {n\mapsto(-1)^{n}n^{\alpha}} est {C}-convergente.
Série entière et série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Rayon de {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}x^{2n+1}}, où {a_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}.
Montrer que {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}=\sqrt{e}\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{2^{n}n!(2n+1)}}.
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Une limite de somme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Étude d’une suite implicite
(oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}.
On étudie la limite \ell de la suite (u_n), puis un équivalent de u_n-\ell.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}.
On étudie la limite \ell de la suite (u_n), puis un équivalent de u_n-\ell.
Reste d’une série de Riemann
(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Probabilités et urne bicolore
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Une urne contient {2a} boules blanches et {a} boules noires. On effectue des tirages d’une boule avec remise. Soit {X} le nombre de tirages effectués lorsqu’on obtient pour la première fois deux boules noires consécutives. On demande la loi de X et {E(X)} (deux méthodes)
Itérées d’une transformation du plan
(oral Centrale)
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.
Dans le plan euclidien, soit {\Phi} l’application qui envoie le point {M = (a,b)} sur le projeté orthogonal de {M} sur la droite {(QP)} avec {P = (a,0)} et {Q = (0, b)}. Pour tout point M_0 du plan, on étudie la suite définie par {M_{n+1}=\Phi(M_{n})}.