Suites numériques
QCM (suites numériques)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Suites numériques ».
Vrai/Faux (suites numériques)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les suites numériques (convergence, suites extraites, calculs de limite, suites bornées, etc.)
Quiz (implications et équivalences)
Un Quiz de 10 questions où il s’agit de dire les liens logiques éventuels (implication, équivalence) qui existent entre deux propositions mathématiques données.
Suite d’intégrales trigonométriques
(Orale Centrale) On calcule les intégrales {J_n(y)=\displaystyle\int_0^\pi\dfrac{\cos nx-\cos ny}{\cos x-\cos y}\text{d}x}
Une récurrence très sensible
(Oral Centrale) On étudie (avec Python, puis théoriquement) le comportement d’une suite récurrente, en fonction de la valeur de son terme initial.
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Étude d’une suite récurrente d’ordre 1
(Oral Centrale) On étudie les suites définies par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}, où {f(x)=x+\ln x}. Dans le cas particulier {u_0=2}, on trouve un équivalent de {u_n}.
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Ordre minimal d’une récurrence linéaire
(Oral Centrale) Si la suite {u} vérifie une récurrence linéaire d’ordre {p}, on étudie l’ordre minimal {r} d’une récurrence linéaire que pourrait vérifier {u}.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Une approximation de π
(Oral Centrale) On définit deux suites récurrentes {(a_n)} et {(b_n)}, puis une troisième suite {(c_n)} qui en dépend. Par des calculs asymptotiques, on voit que la suite {(c_n)}converge très rapidement vers π.
Suites harmoniques et logarithme
(Oral Centrale)
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Pour {n,p} dans {\mathbb{N}^*}, on pose {L_{p}(n)=\displaystyle\sum\limits_{k=p+1}^{np}\dfrac{1}{k}}.
Montrer que {p\mapsto L_{p}(n)} converge vers une limite {L(n)}.
Montrer que {L(mn)=L(m)+L(n)}.
Montrer que {n\mapsto L(n)} est strictement croissante.
Montrer que {L(n)=\ln (n)}.
Suites lentement convergentes
(Oral Mines-Ponts)
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Soit une suite {(u_n)} convergente à termes tous distincts.
On dit que {(u_n)} est lentement convergente si : {\exists\,\rho\!>\!0,\exists\,N\!\ge\!1,\forall n\!\geq\! N,|u_{n+1}\!-\!u_{n}|\!\ge\! \rho\,|u_{n}\!-\!u_{n-1}|}Étudier le cas des suites géométriques, et de {u_{n}=\dfrac{1}{n!}}
Montrer que nécessairement {\rho \in\,] 0,1[}.
Limite d’une suite de points fixes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Soit {f :\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+}, continue et décroissante.
Soit {(r_{n})}, strictement décroissante, de limite {1}.
On pose {f_{n}=r_{n}f} pour tout {n\in\mathbb{N}}.
Montrer que {f,f_n} ont un seul point fixe {I,I_n}.
Étudier la convergence de la suite {\left(I_{n}\right)}.
Suites arithmétiques ou géométriques (2)
Exercices sur le thème « suites arithmétiques ou géométriques ».
Logique et suites numériques
On étudie ici les liens logiques entre propriétés des suites de réels, ainsi que l’utilisation des quantificateurs pour décrire ces propriétés.
Convergence cubique d’un produit infini
(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini
Convergence cubique d’un produit infini
Somme des inverses des « k parmi n »
Accélération de convergence (Aitken)
(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)