Suites arithmétiques ou géometriques

Exercice 1.
Soient {a,b,c} trois réels distincts, {a} étant non nul.
On suppose que {a,b,c} sont en progression arithmétique et que {3a,b,c} sont en progression géométrique. Que dire de la raison de cette progression géométrique?
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Exercice 2.
On suppose que {a,b,c} sont en progression arithmétique.
Montrer qu’il en est de même de {b^2+bc+c^2}, {c^2+ca+a^2} et {a^2+ab+b^2}.
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Exercice 3.
Dans quelle base de numération {\overline{123},\overline{140},\overline{156}} sont-ils en progression arithmétique ?
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Exercice 4.
Soient {a,b} deux réels, et une suite {(u_n)} telle que : {\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\;u_0+u_1+\cdots+u_{n-1}=n(an+b)}Montrer que la suite {(u_n)} est arithmétique. Calculer {u_n}.
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Exercice 5.
Soit une suite {(u_n)} telle que, pour tout {n\ge2} : {(n+1)^2u_{n+1}-(n-1)^2u_n+n=0\quad\text{(E)}}

  1. Soit \lambda\in\mathbb{R}. On pose {v_n=u_n-k}.
    Trouver \lambda pour que : {\forall\, n\ge2: (n+1)^2v_{n+1}=(n-1)^2v_n}.
  2. En déduire l’expression de {v_n} puis celle de {u_n}
  3. Que se passe-t-il si la relation (E) est vraie pour {n=1}?

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Exercice 6.
Soit {a\in\mathbb{R}^{+*}}, {a\ne1}.
Soit {u_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;u_{n+1}=\dfrac{1+au_n}{a+u_n}}

  1. Pour tout n\ge0, on pose {v_n=\dfrac{-1+u_n}{1+u_n}}.
    Vérifier que la suite {(v_n)} est géométrique de raison {\dfrac{a-1}{a+1}}.
  2. En déduire {\displaystyle\lim_{+\infty} v_n} puis {\displaystyle\lim_{+\infty} u_n}.

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