QCM (réels et complexes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « nombres réels et complexes ».
Nombres réels
Vrai/Faux (nombres réels)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les nombres réels (rationnels et irrationnels, borne sup, partie entière, etc.)
Le second degré
Huit exercices sur les questions (pas toujours évidentes) relatives aux racines des polynômes du second degré et à leurs propriétés
Petits calculs rapides
Un éventail de questions simples, à traiter le plus vite possible (« de tête » ou avec un minimum d’écriture). Visez toujours la rapidité d’exécution.
Une simple curiosité
(Oral Mines-Ponts 2018)
On observe les égalités: {9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.
On observe les égalités: {9\times 1+2=11,\;9\times12+3=111,\;9\times 123+4=1111}Quelle généralisation peut-on imaginer ? Démontrer cette conjecture.
Suite presque toujours périodique
(oral Centrale Mp)
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Pour a\gt 1, on étudie la suite {u_1=2} et {u_{n+1}=2-a/u_{n}}, à valeurs dans {\mathbb{R}\cup\{\infty\}}
Fonctions arccos et arcsin (1/4)
Exercices sur le thème « fonctions arccos et arcsin » (1/4)
Fonctions exponentielles (2/2)
Exercices sur le thème « Fonctions exponentielles » (2/2)
Fonctions exponentielles (1/2)
Exercices sur le thème « Fonctions exponentielles » (1/2)
Fonction logarithme népérien
Exercices sur le thème « logarithme népérien ».
Borne Inf et borne Sup (2/2)
Exercices sur le thème « Borne inférieure et borne supérieure dans ℝ » (2/2)
Borne Inf et borne Sup (1/2)
Exercices sur le thème « Borne inférieure et borne supérieure dans ℝ ».
Rationnels et irrationnels
Exercices sur le thème « nombres rationnels ou irrationnels ».
Partie entière d’un réel (2/2)
Exercices sur le thème « partie entière d’un nombre réel » (2/2).
Partie entière d’un réel (1/2)
Exercices sur le thème « partie entière d’un nombre réel » (1/2).
Inégalités dans ℝ (2/2)
Exercices sur le thème « inégalités dans ℝ » (2/2)
Inégalités dans ℝ (1/2)
Exercices sur le thème « inégalités dans ℝ. » (1/2)
Sommes doubles (2/2)
Exercices sur le thème « sommes doubles » (2/2)
Sommes doubles (1/2)
Exercices sur le thème « sommes doubles » (1/2)
Sommes binomiales (3/3)
Quatre exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (3/3)
Sommes binomiales (2/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (2/3)
Sommes binomiales (1/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (1/3)
Petits calculs de produits
Exercices sur le thème « produits de nombres réels ou complexes »
Petits calculs de sommes (2/2)
Exercices sur le thème « calculs de sommes de nombres réels ».
Petits calculs de sommes (1/2)
Exercices sur le thème « sommes de nombres réels ».
Rationnels et irrationnels
Exercices sur le thème « nombres rationnels et nombres irrationnels ».
Résolutions d’inéquations
Cinq exemples de résolutions d’inéquations dans \mathbb{R}.
Signe des racines d’un trinôme
Existence et signe des racines réelles de trinômes à paramètre.
Système non linéaire à paramètres
Soit a,b dans {\mathbb{R}^+}. Résoudre {(S)\begin{cases}x+y+z=a\\x^2+y^2+z^2=b^2\\xy=z^2\end{cases}} dans {\mathbb{R}}.
Équations à paramètre
Quatre exemples de résolution d’équation à paramètre.
Résolutions d’équations (2/2)
Quatre exercices sur la résolution d’équations dans l’ensemble des nombres réels (2/2)
Par analyse-synthèse
Cinq exercices illustrant le raisonnement par analyse-synthèse.
Une suite cachée de carrés d’entiers
Montrer que {u_n=\dfrac{1}{32}\Bigl((17+12\sqrt2)^n+(17-12\sqrt2)^n-2\Bigr)} est toujours le carré d’un entier.
Points fixes uniques
(oral Mines-Ponts)
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.
Soient {f} et {g} deux fonctions continues sur {\mathbb{R}}, avec {f\circ g} décroissante.
Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} admettent un unique point fixe.
Deux encadrements
(oral Mines-Ponts)
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Produits de sommes de puissances
(oral Centrale)
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Soit {(x,y,z)\in\,\mathbb{C}^3} tel que {x+y+z=0}.
Montrer que : {\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\times\dfrac{x^3+y^3+z^3}3.}
Équation en arc tangente
(oral Mines-Ponts)
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.
Résoudre dans {\mathbb{R}} : {\arctan(x-1)+\arctan(x)+\arctan(x+1)=\dfrac{\pi}{2}}.