Petits calculs rapides

Les exercices suivants contiennent un éventail de questions indépendantes.
Celles-ci doivent être traitées le plus vite possible.
Certaines questions peuvent être résolues “de tête”, d’autres demandent un minimum d’écriture.
Visez toujours la rapidité d’exécution.

Exercice 1. (inéquations simples, de tête)

  1. Résoudre : {3\leq 4x-1\lt 5}.
  2. Résoudre : {4\lt -2x+5\leq 7}
  3. Résoudre : {5\lt \dfrac{x}{3}+1\leq 6}

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Exercice 2. (inéquations avec produits, de tête)

  1. Résoudre : {x^2-6x+5\ge 0}
  2. Résoudre : {x(x-1)(x + 1)\gt0}
  3. Résoudre : {(2x + 1)(x-3)(x + 7)\lt0}

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Exercice 3. (inéquations avec quotients)

  1. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{2}{x}\lt 3}
  2. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{x-7}{x+3}\gt 2}
  3. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{x+2}{3-x}\le 4}

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Exercice 4. (inéquations avec valeurs absolues)

  1. Résoudre l’inéquation : {\left|2x-3\right|\lt \left|x+2\right|}
  2. Résoudre l’inéquation : {\left|x^2-10\right|\le 6}
  3. Résoudre l’inéquation : {\left|\dfrac{1}{x}-2\right|\lt 4}

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Exercice 5. (représentations graphiques)

  1. Tracer {f:x\mapsto \sqrt{4-x^2}}
  2. Tracer {f:x\mapsto |x-1|-|x-2|}
  3. Tracer {f:x\mapsto \dfrac{x^2}{x^2+1}}

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Exercice 6. (systèmes à résoudre dans ℝ)

  1. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x+2y=4\cr 3x+7y=2\end{cases}}
  2. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x+y=5\cr xy=6\end{cases}}
  3. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x^2+y^2=1\cr x+y=1\end{cases}}
  4. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x^4+y^4=1\cr x^2+y^2=1\end{cases}}

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Exercice 7. (factorisations dans ℝ)

  1. Factoriser {x^4 -x^3 - 10x^2 + 4x + 24} dans {\mathbb{R}}
  2. Factoriser {x^3-5x-2} dans {\mathbb{R}}
  3. Factoriser {x^6-1} dans {\mathbb{R}}

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Exercice 8. (calculs de limites)

  1. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{0}f}{f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}-1}}
  2. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{0}f}{f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}}
  3. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{+\infty}f}{f(x)=\left(1\!+\!\dfrac{1}{\sqrt x}\right)^x}

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles. Classe de Psi*, lycée Chaptal, Paris.