Petits calculs rapides

Les exercices suivants contiennent un éventail de questions indépendantes.
Celles-ci doivent être traitées le plus vite possible.
Certaines questions peuvent être résolues « de tête », d’autres demandent un minimum d’écriture.
Visez toujours la rapidité d’exécution.

Exercice 1. (inéquations simples, de tête)

  1. Résoudre : {3\leq 4x-1\lt 5}.
  2. Résoudre : {4\lt -2x+5\leq 7}
  3. Résoudre : {5\lt \dfrac{x}{3}+1\leq 6}

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Exercice 2. (inéquations avec produits, de tête)

  1. Résoudre : {x^2-6x+5\ge 0}
  2. Résoudre : {x(x-1)(x + 1)\gt0}
  3. Résoudre : {(2x + 1)(x-3)(x + 7)\lt0}

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Exercice 3. (inéquations avec quotients)

  1. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{2}{x}\lt 3}
  2. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{x-7}{x+3}\gt 2}
  3. Résoudre l’inéquation : {\dfrac{x+2}{3-x}\le 4}

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Exercice 4. (inéquations avec valeurs absolues)

  1. Résoudre l’inéquation : {\left|2x-3\right|\lt \left|x+2\right|}
  2. Résoudre l’inéquation : {\left|x^2-10\right|\le 6}
  3. Résoudre l’inéquation : {\left|\dfrac{1}{x}-2\right|\lt 4}

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Exercice 5. (représentations graphiques)

  1. Tracer {f:x\mapsto \sqrt{4-x^2}}
  2. Tracer {f:x\mapsto |x-1|-|x-2|}
  3. Tracer {f:x\mapsto \dfrac{x^2}{x^2+1}}

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Exercice 6. (systèmes à résoudre dans ℝ)

  1. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x+2y=4\cr 3x+7y=2\end{cases}}
  2. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x+y=5\cr xy=6\end{cases}}
  3. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x^2+y^2=1\cr x+y=1\end{cases}}
  4. Solutions (éventuelles) de {\begin{cases}x^4+y^4=1\cr x^2+y^2=1\end{cases}}

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Exercice 7. (factorisations dans ℝ)

  1. Factoriser {x^4 -x^3 - 10x^2 + 4x + 24} dans {\mathbb{R}}
  2. Factoriser {x^3-5x-2} dans {\mathbb{R}}
  3. Factoriser {x^6-1} dans {\mathbb{R}}

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Exercice 8. (calculs de limites)

  1. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{0}f}{f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x}-1}}
  2. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{0}f}{f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}}
  3. Calculer {\ell=\displaystyle\lim_{+\infty}f}{f(x)=\left(1\!+\!\dfrac{1}{\sqrt x}\right)^x}

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.