Exercices corrigés
Exercice 1. Soient {n,r,s} dans \mathbb{N}, avec {n\le r+s}. Montrer que { \displaystyle\sum_{p+q=n}\dbinom rp\dbinom sq=\dbinom {r+s}n}. En déduire {\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}^2}. |
Exercice 2. Soient {n,p} dans \mathbb{N}, avec {0\le p\le n}. Montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{p}\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{p-k}=2^p\dbinom np}. |
Exercice 3. Soit {n,p,q} trois entiers tels que {0\le q\le p\le n}. Montrer que { \displaystyle\sum_{k=q}^{n-p+q}\dbinom{k}{q}\dbinom{n-k}{p-q}=\dbinom{n+1}{p+1}} |
Exercice 4. Montrer que pour tout {n\in\mathbb{N}}, on a : { \displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{2n-k}n2^k=2^{2n}}. |