Unions dénombrables
Un exercice sur les unions ou intersections dénombrables d’ensembles
Dénombrements
Ensembles non dénombrables
Trois exercices sur le thème « ensembles non dénombrables ».
Dénombrements de parties (2/2)
Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (2/2)
Dénombrements de parties (1/2)
Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (1/2)
Dénombrements d’applications
Exercices sur le thème « dénombrements d’applications »
Dénombrements divers (2/2)
Exercices sur le thème « dénombrements divers » (2/2)
Dénombrements divers (1/2)
Exercices sur le thème « dénombrements divers » (1/2)
Sommes doubles (1/2)
Exercices sur le thème « sommes doubles » (1/2)
Sommes binomiales (3/3)
Quatre exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (3/3)
Sommes binomiales (2/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (2/3)
Sommes binomiales (1/3)
Exercices sur le thème « sommes avec coefficients binomiaux » (1/3)
Tirage de boules impaires
(Oral Mines-Ponts)
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.
Une urne contient {2n} boules numérotées de {1} à {2n}.
On les tire successivement et sans remise. On s’intéresse ici à l’apparition des boules de numéro impair.
Vidages d’urnes bicolores
(Oral Centrale)
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
Une urne contient {b} boules blanches et {n-b} rouges.
On les tire successivement et sans remise.
On note {C} le nombre de changements de couleur. Calculer {E(C)} et {V(C)}.
La somme des k^2 binom(n,k)
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Des livres sur une étagère
On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
Le paradoxe du duc de Toscane
Nombre de façons d’écrire {9} et {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
Le paradoxe des anniversaires
Quelle est la probabilité {p_n} pour que dans une classe de {n} élèves, les anniversaires d’au moins deux élèves tombent le même jour? À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\ge0.5}?
Mme Michu et les probabilités
Quatre exercices sur le thème « Mme Michu et les probabilités »
Anagrammes d’abracadabra
Combien « abracadabra » a-t-il d’anagrammes? Quel est le moins probable?
Femmes célibataires non syndiquées
Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?
Nombres de Bell, formule de Dobinksi
(Oral Mines-Ponts)
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Soit {B_n} le nombre de partitions de {[[1,n]]}.
Montrer {B_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom{n}{k}B_k} et {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{B_n}{n!}x^n=e^{e^x-1}}
Montrer : {T_n=\dfrac1{\text{e}}\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^n}{k!}} (formule de Dobinski).
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Minimum dans un tirage aléatoire
(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
Calcul de sommes binomiales
(Oral Mines-Ponts)
Calculer les sommes {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\dbinom{n}{3k}} et {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\dbinom{n}{4k}}.
Calculer les sommes {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\dbinom{n}{3k}} et {\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/4\rfloor}\dbinom{n}{4k}}.
Le collectionneur, épisode 3
Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente X de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de X.
On détermine ici la fonction de répartition du temps d’attente X de la collection complète de figurines, ce qui permet de trouver la loi de X.
Le collectionneur, épisode 2
Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.
Le collectionneur, épisode 1
Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de X, son espérance, sa variance.
Le dernier non effacé
On écrit à la suite tous les entiers de {1} jusqu’à {2017}. On les efface de {3} en {3} : d’abord {1}, puis {4}, puis {7}, etc. On recommence sur la liste restante 2,3,5,6,8,9,11,\ldots et ainsi de suite. Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations? Illustrer tout cela avec Python.
Les coureurs
En {n} points distincts d’une piste circulaire, {n} coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.
La dernière moyenne
On écrit une liste de n nombres réels. On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel X. Quelle est la valeur minimum possible pour X? Illustrer avec Python.
Pavage par des dominos
On s’intéresse au nombre u_n de façons de remplir un rectangle 4\times n par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les {u_{n}}. On écrit une fonction Python calculant {u_n}. On donne une expression des u_n et on étudie leur série génératrice.
Involutions et séries entières
(Oral Centrale)
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Soit {I_{n}} le nombre d’involutions de {[\![1,n]\!]} avec {I_{0}=1}.
1. Donner {I_{1},I_{2},I_{3}}. Montrer : {I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}.
2. Montrer que {S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}} est de rayon {R > 0}.
3. Calculer {(1\!+\!x)S(x)} et en déduire {S(x)} et {I_{n}}.
Lancer de dés pipés
(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Soit un dé pipé à six faces numérotées de 1 à 6.
On note {p_{k}} la probabilité d’obtenir {k}.
Soit {N_{n,k}} le nombre de {k} en {n} lancers.
Que dire de {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}?
Si {np_{k}\in\mathbb{N}}, probabilité que {N_{n,k}=np_{k}} ?
Somme de coefficients binomiaux
Soient {p,q\in\mathbb{N}}. Montrer que : {\displaystyle\sum_{k=p}^{q}\displaystyle\binom{k}{p}=\displaystyle\binom{q+1}{p+1}}.