Sommes binomiales (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Avec {n\in\mathbb{N}^*} et {0\le p\le n}, montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{p}(-1)^k\displaystyle\binom{n}{k}=(-1)^p\displaystyle\binom{n-1}{p}}.
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Exercice 2.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\displaystyle\binom{2n}{k}^2=(-1)^n\displaystyle\binom{2n}{n}}.
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Exercice 3.
Montrer que la suite {n\mapsto u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\displaystyle\binom{n-k}{k}} est périodique.
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Exercice 4.
Soient {m,n} dans {\mathbb{N}}, avec {0\le m\le n}.
Montrer que, pour tout {p\in\mathbb{N}} : {\displaystyle\binom{n}{p}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\displaystyle\binom{m}{k}\displaystyle\binom{n-m}{p-k}}.
Remarque : par convention, {\displaystyle\binom{n}{p}=0} si {p\lt 0} ou si {p>n}.
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