Exercices corrigés
| Exercice 1. Avec {n\in\mathbb{N}^*} et {0\le p\le n}, montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{p}(-1)^k\displaystyle\binom{n}{k}=(-1)^p\displaystyle\binom{n-1}{p}}. |
| Exercice 2. Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, montrer que {\displaystyle\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\displaystyle\binom{2n}{k}^2=(-1)^n\displaystyle\binom{2n}{n}}. |
| Exercice 3. Montrer que la suite {n\mapsto u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}(-1)^k\displaystyle\binom{n-k}{k}} est périodique. |
| Exercice 4. Soient {m,n} dans {\mathbb{N}}, avec {0\le m\le n}. Montrer que, pour tout {p\in\mathbb{N}} : {\displaystyle\binom{n}{p}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m}\displaystyle\binom{m}{k}\displaystyle\binom{n-m}{p-k}}. Remarque : par convention, {\displaystyle\binom{n}{p}=0} si {p\lt 0} ou si {p>n}. |