Dénombrements et ensembles finis
Exercices corrigés sur le thème « dénombrements et ensembles finis » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours X, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.

➡️

Minimum dans un tirage aléatoire

(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire

{k}

boules dans une urne contenant

{n}

boules numérotées de

{1}

{n}

. On note

{X}

le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de

{X}

➡️

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On voit ici une autre méthode (basée sur « Analysis on first step » et la résolution d’une récurrence) pour retrouver l’espérance mathématique du temps d’attente de la collection complète de figurines.

➡️

Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des

N

figurines d’une collection. On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter sa collection.
On note

{X}

le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album. Dans cet épisode, on calcule la loi de

X

, son espérance, sa variance.

➡️

Le dernier non effacé

On écrit à la suite tous les entiers de

{1}

jusqu’à

{2017}

. On les efface de

{3}

{3}

: d’abord

{1}

, puis

{4}

, puis

{7}

, etc. On recommence sur la liste restante

2,3,5,6,8,9,11,\ldots

et ainsi de suite. Quel est le dernier nombre affiché, et au bout de combien d’itérations? Illustrer tout cela avec Python.

➡️

Les coureurs

{n}

points distincts d’une piste circulaire,

{n}

coureurs sont prêts à partir.
Au top départ, chacun démarre en choisissant aléatoirement un sens de rotation. Quand deux coureurs se rencontrent, ils font demi-tour et repartent immédiatement. Tous les coureurs vont à la même vitesse, et cette vitesse reste constante. Montrer qu’au bout d’un certain temps, tous se retrouvent à leur point de départ.

➡️

La dernière moyenne

On écrit une liste de

n

nombres réels. On en efface deux, pris au hasard, pour les remplacer par leur demi-somme. On répète cette opération jusqu’à ce qu’il reste un seul réel

X

. Quelle est la valeur minimum possible pour

X

? Illustrer avec Python.

➡️

Pavage par des dominos

On s’intéresse au nombre

u_n

de façons de remplir un rectangle

4\times n

par des dominos (horizontaux ou verticaux). On trouve une relation de récurrence vérifiée par les

{u_{n}}

. On écrit une fonction Python calculant

{u_n}

. On donne une expression des

u_n

et on étudie leur série génératrice.

➡️

Involutions et séries entières

(Oral Centrale)
Soit

{I_{n}}

le nombre d’involutions de

{[\![1,n]\!]}

avec

{I_{0}=1}

.
1. Donner

{I_{1},I_{2},I_{3}}

. Montrer :

{I_{n+1}=I_{n}+nI_{n-1}}

.
2. Montrer que

{S(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{I_{n}}{n!}x^{n}}

est de rayon

{R > 0}

.
3. Calculer

{(1\!+\!x)S(x)}

et en déduire

{S(x)}

{I_{n}}

➡️

Lancer de dés pipés

(Oral X-Cachan Psi)
Soit un dé pipé à six faces numérotées de

1

6

.
On note

{p_{k}}

la probabilité d’obtenir

{k}

.
Soit

{N_{n,k}}

le nombre de

{k}

{n}

lancers.
Que dire de

{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}N_{n,k}}

?
Si

{np_{k}\in\mathbb{N}}

, probabilité que

{N_{n,k}=np_{k}}

➡️

Somme de coefficients binomiaux

Soient

{p,q\in\mathbb{N}}

. Montrer que :

{\displaystyle\sum_{k=p}^{q}\displaystyle\binom{k}{p}=\displaystyle\binom{q+1}{p+1}}

➡️

Dénombrements et ensembles finis
Exercices corrigés sur le thème « dénombrements et ensembles finis » pour Sup Mpsi Pcsi, et Spé Mp, Pc, Psi (concours X, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Nombres de Bell, formule de Dobinksi

Probabilité de tirages monotones