Une construction géométrique
On propose une construction géométrique, à la règle et au compas, de l’inverse d’un nombre complexe.
Nombres complexes
QCM (réels et complexes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « nombres réels et complexes ».
Vrai/Faux (nombres complexes)
Un Vrai/Faux (17 questions) portant sur les nombres complexes (partie réelle ou imaginaire, module, argument, racines de l’unité, etc.)
Une moyenne de distances
(Oral CCInp)
Soit {A} un sommet d’un polygône régulier convexe {\mathcal{P}_n} à {n} sommets, de centre {\Omega}.
On note {R=d(\Omega,A)}. Calculer la moyenne {M_n} des distances de {A} aux autres sommets de {\mathcal{P}_n}.
Soit {A} un sommet d’un polygône régulier convexe {\mathcal{P}_n} à {n} sommets, de centre {\Omega}.
On note {R=d(\Omega,A)}. Calculer la moyenne {M_n} des distances de {A} aux autres sommets de {\mathcal{P}_n}.
Un produit trigonométrique
(oral École Navale)
Pour {0\le k\le n-1}, soit {\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}.
Avec {n} impair, calculer {P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}.
Exprimer {P} en fonction de {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}.
Pour {0\le k\le n-1}, soit {\omega_{k}=e^{2ik\pi/n}}.
Avec {n} impair, calculer {P=\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\dfrac{1-\omega_{k}}{1+\omega_{k}}}.
Exprimer {P} en fonction de {\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan \dfrac{k\pi}{n}}.
Tangente hyperbolique complexe
(Oral Centrale 2018)
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Définissons, pour tout {z\in\mathbb{C}}: {\text{ch}(z)=\dfrac{e^{z}\!+\!e^{-z}}{2},\,\text{sh}(z)=\dfrac{e^{z}\!-\!e^{-z}}{2i},\,\text{th}(z)=\dfrac{\,\text{sh}(z)}{\,\text{ch}(z)}}Déterminer le domaine de {\mathrm{th}}. Résoudre {\mathrm{th}(z)=0}.
Résoudre {|\text{Im}(z)|\lt \dfrac{\pi}{2}} et {|\mathrm{th}(z)|\lt 1}.
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}
Un algorithme de Lehmer
(Centrale Mp) Un algorithme de Lehmer de décomposition de arctan(a/b).
Géométrie du plan complexe (2/2)
Exercices sur le thème « Géométrie du plan complexe » (2/2)
Géométrie du plan complexe (1/2)
Exercices sur le thème « Géométrie du plan complexe » (1/2)
Racines n-ièmes de l’unité (2/2)
Exercices sur le thème « racines n-ièmes de l’unité » (2/2)
Racines n-ièmes de l’unité (1/2)
Exercices sur le thème « racines n-ièmes de l’unité »
Racines n-ièmes dans ℂ
Exercices sur le thème « racines n-ièmes dans ℂ »
Équations du second degré dans ℂ
Exercices sur le thème « équations du second degré dans ℂ »
Racines carrées dans ℂ
Exercices sur le thème « racines carrées dans ℂ ».
Utilisation du nombre j
Exercices sur le thème « utilisation du nombre j ».
Formule du binôme dans ℂ
Exercices sur le thème « formule du binôme dans ℂ ».
Trigonométrie et notation e^(iθ)
Exercices sur le thème « trigonométrie et e^(iθ) »
Nombres complexes de module 1 (2/2)
Exercices sur le thème « nombres complexes de module 1 » (2/2)
Nombres complexes de module 1 (1/2)
Exercices sur le thème « nombres complexes de module 1 » (1/2)