Vrai/Faux (nombres complexes)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Nombres complexes ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.

Pour tout nombre complexe

{z}

, on a :

{\left|\text{e}^z\right|= \text{e}^{\text{Im}(z)}}

Vrai? Faux?

C’est faux. Posons

{z=x+iy}

, avec

{x,y}

réels.
Alors

{\text{e}^{z}=\text{e}^{x}(\cos y+i\sin y)}

, donc

{\left|\text{e}^{z}\right|=\text{e}^{x}=\text{e}^{\text{Re}(z)}}

Pour tout

{z}

{\mathbb{C}}

, on a

{\overline{\text{e}^z}=\text{e}^{\overline{z}}}

Vrai? Faux?

C’est vrai. Posons

{z=x+iy}

, avec

{x,y}

réels.
Alors

{\overline{\text{e}^z}=\text{e}^{x}(\cos y-i\sin y)=\text{e}^{x-iy}=\text{e}^{\overline{z}}}

Pour tous

{u,v}

dans

{\mathbb{C}}

, on a

{\left|u+v\right|^2+\left|u-v\right|^2=\left|{u}\right|^2+\left|v\right|^2}

Vrai? Faux?

C’est faux. On sait que

{\left|u+v\right|^2=\left|u\right|^2+2\,\text{Re}(u\overline{v})+\left|v\right|^2}

.
Ainsi

{\left|u+v\right|^2+\left|u-v\right|^2=2\left|{u}\right|^2+2\left|v\right|^2}

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