Un algorithme de Lehmer

(Exercice d’oral Centrale Mp)

  1. Dans cette question, {z=a+ib\in\mathbb{C}} est donné, avec {a\in\mathbb{R}} et {b\in\mathbb{R}^{*}}.

    • Exprimer l’argument de {z} (modulo {\pi}) en fonction de {\text{arctan}\,\dfrac{b}{a}} si {a\ne0}.
      Préciser le cas {a=0}.
    • On pose {\varphi(z)=(-n+i)z}, où {n} est la partie entière de {\dfrac{a}{b}}.

      Montrer que si {b>0} alors {0\le \text{Im}\,\varphi(z)\lt b}.

      Montrer que si {b\lt 0} alors {b\lt \text{Im}\,\varphi(z)\le 0}.

  2. Dans cette question, {a} et {b} sont donnés dans {\mathbb{Z}^{*}}.

    On définit une suite {(z_{k})}, par {z_{0}=a+ib}, de la façon suivante :

    Si {z_{k}} est connu et si {\text{Im}\, z_{k}\ne 0}, on pose {z_{k+1}=\varphi(z_{k})} (voir 1.b).

    • Montrer que la suite {(z_{k})} est finie.

      Il existe donc un plus petit {p\ge1} tel que {\text{Im}\, z_{p}=0}.

    • En déduire l’existence d’entiers {n_{0},\ldots,n_{p-1}} tels que : {\text{arctan}\,\dfrac{b}{a}\equiv\displaystyle\sum_{k=0}^{p-1}\text{arctan}\,\dfrac{1}{n_{k}}\ \mod{\pi}}NB: si {n_{k}=0}, on convient que {\text{arctan}\,\dfrac{1}{n_{k}}\equiv\dfrac\pi2\ \mod{\pi}}.
    • Effectuer les calculs pour {z=20+3i}. En déduire : {\begin{array}{l}\text{arctan}\,\dfrac{3}{20}\\\\=\text{arctan}\dfrac{1}{6}\!-\!\text{arctan}\dfrac{1}{62}\!-\!\text{arctan}\dfrac{1}{7628}\end{array}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).