Nombres complexes de module 1 (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {z} tel que {\left|z\right|=1}. Montrer que {|1+z|\geq 1} ou {|1+z^{2}|\geq 1}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 2.
Soient {u} et {v} deux nombres complexes de module {1}, tels que {uv\ne-1}.

Montrer que {Z=\dfrac{u+v}{1+uv}} est un réel.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 3.
Avec {\left|a\right|=\left|b\right|=1}, {a\ne b}, {z\in\mathbb{C}}, soit {Z=\dfrac{z+ab\overline{z}-(a+b)}{a-b}}

Montrer que {Z^{2}} est réel négatif ou nul.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 4.
Soit {(a,b)\in\mathbb{C}^2}, avec {\overline{a}b\ne1}.

Montrer que {\left|{\dfrac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right|=1\Leftrightarrow (\left|a\right|=1} ou {\left|b\right|=1)}.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Exercice 5.
Déterminer les {z\in\mathbb{C}} tels que les modules de {|z|=\left|\dfrac 1z\right|=|z-1|}.
Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (six mois), 25€ (un an) ou 35€ (deux ans).

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.