Racines n-ièmes de l’unité (1/2)

Exercice 1.
Résoudre {(z+1)^n=\cos(2na)+i\sin(2na)}.

En déduire {P_n=\sin a\cdot\sin\Bigl(a\!+\!\dfrac \pi n\Bigr)\cdots\sin\Bigl(a\!+\!\dfrac {n\!-\!1}n\,\pi\Bigr)}

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Exercice 2.
Soient {\omega_0,\ldots,\omega_{n-1}} les {n} racines {n}-ièmes de l’unité.
Pour {p\in\mathbb{Z}}, calculer {S_p=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k^p}.
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Exercice 3.
Montrer que {a=(3+4i)/5} n’est jamais une racine {n}-ième de 1.
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Exercice 4.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre l’équation {z^{2n}-2z^n\cos(n\theta)+1=0}.
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Exercice 5.
Dans {\mathbb{C}}, résoudre {(E):\ \Big(\dfrac{1-iz}{1+iz}\Big)^n=\dfrac{1+ia}{1-ia}\;} ({n\in\mathbb{N}^*}, {a\in\mathbb{R}}).
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