Racines n-ièmes de l’unité (2/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {z_1,\ldots,z_n} les solutions de {z^n=a}, où {|a|=1}.
On note A_k le point image de (1+z_k)^n.
Montrer que les points A_1,A_2,\ldots,A_n sont alignés.
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Exercice 2.
Calculer {\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(2-\omega_k)}, où les {\omega_k} sont les racines {n}-ièmes de l’unité.
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Exercice 3.
Résoudre {(z+i)^{n} = (z-i)^{n}}, avec {n} dans {\mathbb{N}^{*}}.
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Exercice 4.
Résoudre l’équation suivante dans \mathbb{C} :{1\!+\!2z\!+\!2z^2\!+\!\cdots\!+\!2z^k\!+\!\cdots\!+\!2z^{n-1}\!+\!z^n\!=\!0}
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Exercice 5.
Résoudre {(E): z^7+\displaystyle\binom{7}{2}z^5+\displaystyle\binom{7}{4}z^3+\displaystyle\binom{7}{6}z=0}.
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Exercice 6.
Résoudre {\bar z^7=\dfrac1{z^2}} dans {\mathbb{C}}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.