Le collectionneur, épisode 1

Pour doper ses ventes, une marque de chocolat cache dans chaque tablette (et de façon équiprobable) l’une des N figurines d’une collection. Pour les applications numériques, on considérera la collection (N=151) des Pokemon de première génération.

Les figurines doivent être collées à leur place dans un album dédié, qu’il s’agit pour le consommateur de compléter.

On considère ici l’expérience (aléatoire!) vécue par un client cherchant compulsivement à compléter son album. Quand il trouve une figurine qu’il possède déjà, il la jette de dépit (il ne cherche pas à faire des échanges avec ses petits camarades).
On note {X} le nombre de tablettes à acheter pour compléter l’album.
On rappelle la notation {H_{N}=\displaystyle\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n}}.

On note {X_{k}} (avec {1\le k\le N}) le nombre de tablettes à acheter pour pouvoir enfin coller une {k}-ième figurine dans l’album.

  1. Déterminer la loi de {X_{k}}.
  2. En déduire {\text{E}(X)} et {\text{V}(X)} (et leur équivalent quand {N\rightarrow+\infty}).
    Faire l’application numérique (avec Python) dans le cas de l’album Pokemon.
  3. Montrer que, pour tout {\mu\in\mathbb{R}^{+*}}: {\mathbb{P}\big(\left|{X-NH_N}\right|\ge \mu N\bigr)\le\dfrac{2}{\mu^{2}}}En utilisant ce résultat, à partir de combien de tablettes de chocolat a-t-on 98% de chances d’avoir l’album Pokemon complet?

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