Le collectionneur, épisode 2

Pour les notations, on se reportera à l’épisode 1.
On se propose ici de retrouver l’expression de {\text{E}(X)} par une méthode différente.
On note {e_{n}} l’espérance du nombre d’achats pour compléter la collection sachant qu’on dispose déjà de {n} figurines (avec {0\le n\le N}). On cherche donc {e_{0}}.

  1. Montrer l’égalité : {e_n=\Bigl(1-\dfrac{n}{N}\Bigr)e_{n+1}+\dfrac{n}{N}e_{n}+1}
  2. Que vaut {e_{N}}? En déduire {\text{E}(X)}.

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