Soit {{\mathcal U}_{n}} un rectangule de 4*n cases.
Soit {u_{n}} le nombre de façons de remplir {{\mathcal U}_{n}} par des dominos (horizontaux ou verticaux).
On voit ici un exemple de remplissage de {{\mathcal U}_{9}} :
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Trouver une relation de récurrence sur les {u_{n}}.
Indication : comment la dernière colonne a-t-elle été remplie?
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Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
Vérifier que {u_{30}=21096536145301}.
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On définit {P(x)=x^4-x^3-5x^2-x+1}.
Déterminer ses racines {x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}\lt x_{4}}.
Vérifier numériquement avec Python.
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Prouver que, pour tout {n\in\mathbb{N}}: {u_{n}=\dfrac1{\sqrt{29}}(-x_{1}^{n+1}\!-\!x_{2}^{n+1}\!+\!x_{3}^{n+1}\!+\!x_{4}^{n+1})}
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Montrer que, sur un intervalle à préciser : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n=\dfrac{1-x^2}{P(x)}}
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