Pavage par des dominos

Soit {{\mathcal U}_{n}} un rectangule de 4*n cases.
Soit {u_{n}} le nombre de façons de remplir {{\mathcal U}_{n}} par des dominos (horizontaux ou verticaux).
On voit ici un exemple de remplissage de {{\mathcal U}_{9}} :
article-28-01-17-fig1

  1. Trouver une relation de récurrence sur les {u_{n}}.
    Indication : comment la dernière colonne a-t-elle été remplie?
  2. Écrire une fonction Python calculant {u_n}.
    Vérifier que {u_{30}=21096536145301}.
  3. On définit {P(x)=x^4-x^3-5x^2-x+1}.
    Déterminer ses racines {x_{1}\lt x_{2}\lt x_{3}\lt x_{4}}.
    Vérifier numériquement avec Python.
  4. Prouver que, pour tout {n\in\mathbb{N}}: {u_{n}=\dfrac1{\sqrt{29}}(-x_{1}^{n+1}\!-\!x_{2}^{n+1}\!+\!x_{3}^{n+1}\!+\!x_{4}^{n+1})}
  5. Montrer que, sur un intervalle à préciser : {\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n}x^n=\dfrac{1-x^2}{P(x)}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).