Dénombrements divers (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
On se donne {n} points du plan, trois à trois non alignés.
Combien existe-t-il de polygones à {p} cotés dont les sommets soient {p} de ces points?.
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Exercice 2.
Quel est le nombre de diagonales d’un polygone strictement convexe de {n} cotés?
En combien de points intérieurs au polygone ces diagonales se coupent-elles?
(on supposera que le polygone est dans sa forme la plus générale, c’est-à-dire que les points d’intersection considérés sont distincts deux à deux).
On pourra proposer plusieurs démonstrations.
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Exercice 3.
Combien y-a-t-il de dominos dans un jeu complet?
(On pourra donner plusieurs démonstrations).
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Exercice 4.

  1. De combien de façons peut-on ranger dix chemises différentes dans sept tiroirs?
  2. De combien de façons peut-on ranger trois voitures sur cinq places de parking?
  3. De combien de façons peut-on distribuer dix places de théatre à dix personnes?
  4. Combien peut-on former de nombres différents de huit chiffres avec cinq « 1 » et trois « 2 »?

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Exercice 5.

  1. On donne {n} droites du plan en position quelconque (pas de parallélisme, points d’intersection tous distincts). Déterminer le nombre {\delta_n} de régions délimitées par ces droites.
  2. On donne {n} plans de l’espace (pas de parallélisme, droites d’intersection toutes distincts et non concourantes). Déterminer le nombre {\pi_n} de régions délimitées par ces plans.

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Exercice 6.
Quel est le nombre {T_{n}} de solutions {(x,y,z)\in\mathbb{N}^3} de l’équation {(E_{n}): x+2y+3z=6n}, où {n\in\mathbb{N}}?
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