Dénombrements de parties (2/2)

Exercices corrigés

Exercice 1.
Soit

{E}

un ensemble de cardinal

{n}

.
Calculer

{ \displaystyle\sum_{X,\,Y\subset\,E}\text{card}(X\cap Y)}

{ \displaystyle\sum_{X,\,Y\subset\,E}\text{card}(X\cup Y)}

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Exercice 2.
Si

{\text{card} E= np}

, calculer le nombre de partitions de

{E}

{n}

parties de

{p}

éléments.

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Exercice 3.
Soit

{n\geq 1}

{p\geq 0}

des entiers. On note

{F_n^p}

l’ensemble des parties de

{\{1,\cdots,n\}}

ne contenant aucune paire d’entiers consécutifs. On note

{K_n^p}

le cardinal de

{F_n^p}

Déterminer ${K_n^p}$ quand ${p> (n+1)/2}$ .
Soit ${\{a_1,\cdots,a_p\}}$ une partie de ${F_n^p}$ écrite de sorte que ${a_i\lt a_{i+1}}$ .
On pose ${b_k=a_k+1-k}$ . Prouver que : ${1\leq b_1\lt b_2\lt \cdots\lt b_p\leq n+1-p}$
Construire une bijection de ${F_n^p}$ sur l’ensemble ${G_n^p}$ des parties à ${p}$ éléments de ${\{1,\cdots,n+1-p\}}$ .
En déduire la valeur de ${K_n^p}$ .
Application : au loto on tire 6 numéros dans ${\{1,\cdots,49\}}$ . Combien de tirages ne contiennent aucune paire d’entiers consécutifs? Mme Michu ne joue que des grilles ne contenant pas deux numéros consécutifs. A-t-elle raison?

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