QCM (algèbre générale)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 8 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « algèbre générale »
Ensembles finis Dénombrements
Rétablir l’honnêteté d’une pièce
(Oral Mines-Ponts)
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
On souhaite corriger le défaut d’une pièce qui renvoie Pile avec la probabilité {p\in\,]0,1[} et {p\ne\dfrac{1}{2}}.
On effectue une succession de deux lancers jusqu’à ce qu’ils soient différents. Quelle est la probabilité que le tout dernier résultat soit Pile?
Dénombrements de parties (2/2)
Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (2/2)
Dénombrements de parties (1/2)
Exercices sur le thème « dénombrements de parties d’un ensemble » (1/2)
Dénombrements d’applications
Exercices sur le thème « dénombrements d’applications »
Dénombrements divers (2/2)
Exercices sur le thème « dénombrements divers » (2/2)
Dénombrements divers (1/2)
Exercices sur le thème « dénombrements divers » (1/2)
La somme des k^2 binom(n,k)
(Oral Mines-Ponts)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Calculer {S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}k^{2}\dbinom{n}{k}} (cinq méthodes possibles!)
Des livres sur une étagère
On range {n} livres au hasard sur une étagère, dont {a} sont d’un auteur A, les autres étant d’auteurs tous différents. Donner la probabilité qu’au moins {m} livres de A soient côte à côte dans les cas suivants :
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
1) {n=20, \; a=3,\; m=3 }, et 2) {n=20, \; a=5, \; m=2}
Le paradoxe du duc de Toscane
Nombre de façons d’écrire {9} et {10} comme somme de trois entiers de {[[ 1,6]]}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
On lance trois dés. Soit {S} la somme. Comparer {\mathbb{P}(S=9)} et {\mathbb{P}(S=10)}.
Le paradoxe des anniversaires
Quelle est la probabilité {p_n} pour que dans une classe de {n} élèves, les anniversaires d’au moins deux élèves tombent le même jour? À partir de quelle valeur de {n} a-t-on {p_n\ge0.5}?
Mme Michu et les probabilités
Quatre exercices sur le thème « Mme Michu et les probabilités »
Un dé, un python, un trinôme
On jette un dé trois fois (résultats {a,b,c}). Donner la probabilité pour que {aX^2+bC+c} ait deux racines réelles distinctes / une racine réelle double / pas de racine réelle.
Anagrammes d’abracadabra
Combien « abracadabra » a-t-il d’anagrammes? Quel est le moins probable?
Femmes célibataires non syndiquées
Dans une entreprise de 800 employés, il y a : 300 hommes, 352 syndiqué(e)s, 424 marié(e)s, 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqué(e)s et marié(e)s, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées?
Probabilité de tirages monotones
(Oral Mines-Ponts)
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
On effectue {p} tirages successifs sans remise de {n} jetons numérotés de 1 à {n}. Déterminer la probabilité que la suite des numéros ainsi obtenue soit : i) croissante, ii) strictement croissante, iii) monotone, iv) strictement monotone.
Minimum dans un tirage aléatoire
(Oral Centrale)
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.
En une seule prise, on tire {k} boules dans une urne contenant {n} boules numérotées de {1} à {n}. On note {X} le plus petit numéro obtenu. On détermine ici la loi puis l’espérance de {X}.