Dénombrements de parties (1/2)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Soit {E} un ensemble fini de cardinal {n}.
Calculer le nombre de couples {(A,B)} de parties de E tels que:
1) {A\subset B} (deux démonstrations)\quad
2) {A\cap B= \emptyset}\quad 3) {A\cap B\ne \emptyset}.
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Exercice 2.
Soit {E} un ensemble fini de cardinal {n}. Déterminer le nombre :

  • de partitions {(A,B)} de {E}
    ({A\cup B=E} et {A\cap B=\emptyset}).
  • de recouvrements {(A,B)} de {E}
    ({A\cup B=E}).

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Exercice 3.
Soit {E} un ensemble fini de cardinal {n}. Calculer le nombre de triplets {(A,B,C)} de parties de E telles que {A\cup B\cup C=E}.
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Exercice 4.
On note {\mathcal{P}(E)} l’ensemble des parties de {E}.
Si {\text{card}(E)=n}, alors {\text{card}(\mathcal{P}(E))=2^n}.

  1. Si {\text{card}(E)=n\ge2}, combien y a-t-il de partitions de {E} en deux parties (non vides disjointes)?
  2. Si {\text{card}(E)=n\ge3}, combien y a-t-il de partitions de {E} en trois parties (non vides disjointes)?

    Indication: fixer {a\in E} et discuter selon que {\{a\}} est (ou n’est pas) l’un des trois ensembles de la partition; conclure par récurrence sur {n}.

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Exercice 5.
On choisit un ensemble {X} de {10} entiers différents dans l’ensemble {E=[[90,99]]}.
Montrer qu’il existe deux parties non vides {A,B} de {X}, disjointes, de même somme.
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