Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {E=\{r\in\mathbb{Q}^{+},\;r^{2}\le 2\}} et {\beta=\sup E}. Montrer que {\beta^{2}=2}. |
| Exercice 2. Soit {a} dans {\mathbb{R}^{+}}, et {m} dans {\mathbb{N}^{*}}. On pose {E=\{r\in\mathbb{Q}^{+},\;r^{m}\le a\}}. Montrer que {E} est une partie majorée de {\mathbb{R}}. On pose {\beta=\sup(E)}. Montrer que {\beta^{m}=a}. |
| Exercice 3. On pose {E=\Bigl\{u_{p,q}=\dfrac{p}{pq+1},\;p\in\mathbb{N}^{*},\;q\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}}. Déterminer {\inf(E)} et {\sup(E)}. |
| Exercice 4. On pose {E=\Bigl\{u_{p,q}=\dfrac{1}{p^{2}}\!+\!\dfrac{1}{q^{2}}\!-\!\dfrac{1}{pq},\,p\in\mathbb{N}^{*},\,q\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}} Déterminer {\inf(E)} et {\sup(E)}. |
| Exercice 5. Soit {A\subset \mathbb{R}}, non vide bornée. Soit {B=\{\left|{x-y}\right|,\;(x,y)\in A\times A\}}. Montrer que :{\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)}. |