Borne Inf et borne Sup (1/2)

Exercice 1.
Soit {E=\{r\in\mathbb{Q}^{+},\;r^{2}\le 2\}} et {\beta=\sup E}.
Montrer que {\beta^{2}=2}.
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Exercice 2.
Soit {a} dans {\mathbb{R}^{+}}, et {m} dans {\mathbb{N}^{*}}.
On pose {E=\{r\in\mathbb{Q}^{+},\;r^{m}\le a\}}.
Montrer que {E} est une partie majorée de {\mathbb{R}}.
On pose {\beta=\sup(E)}. Montrer que {\beta^{m}=a}.
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Exercice 3.
On pose {E=\Bigl\{u_{p,q}=\dfrac{p}{pq+1},\;p\in\mathbb{N}^{*},\;q\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}}.

Déterminer {\inf(E)} et {\sup(E)}.

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Exercice 4.
On pose {E=\Bigl\{u_{p,q}=\dfrac{1}{p^{2}}\!+\!\dfrac{1}{q^{2}}\!-\!\dfrac{1}{pq},\,p\in\mathbb{N}^{*},\,q\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}}

Déterminer {\inf(E)} et {\sup(E)}.

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Exercice 5.
Soit {A\subset \mathbb{R}}, non vide bornée.
Soit {B=\{\left|{x-y}\right|,\;(x,y)\in A\times A\}}.
Montrer que :{\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)}.
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