Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f\colon [0,1]\mapsto [0,1]} une fonction croissante. Soit {E=\{x\in[0,1],\;f(x)\le x\}} et {\alpha=\inf(E)}. Montrer que {f(\alpha)=\alpha}. |
| Exercice 2. Soit {E_{n}=\Big\{k+\dfrac{n}{k},\;k\in\mathbb{N}^{*}\Bigr\}}. Montrer que {\inf(E_{n})\ge 2\sqrt{n}}. A-t-on {\min(E_{n})=2\sqrt{n}\,}? |
| Exercice 3. Soit {A,B} deux parties non vides majorées de {\mathbb{R}^{+}}. Soit {AB=\{ab,\;(a,b)\in A\times B\}}. Montrer que : {\sup(AB)=(\sup A)(\sup B)}. |
| Exercice 4. Calculer {\lambda=\displaystyle\inf_{t\in\mathbb{R}}\Bigl\{\sup_{x\in[0,1]}{|x^2+tx|}\Bigr\}}. |