Vrai/Faux (nombres réels)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Nombres réels ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.


Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a l’implication : {\sqrt{n}\in\mathbb{Q}\Rightarrow(\exists\, m\in\mathbb{N},n=m^{2})}.
Vrai? Faux?
C’est vrai.
Soit {n\ge2}. Si {\sqrt{n}=m/q}, avec {m\wedge q=1} et {q\ge2}, et si {p} premier divise {q}, alors {p} divise {q^2n=m^2} donc divise {m} et c’est absurde. Ainsi {q=1} et {n=m^2}.

Pour {x} dans {\mathbb{R}}, et {k} dans {\mathbb{Z}}, on a : {[x]\lt k\Leftrightarrow x\lt k}.
Vrai? Faux?
C’est vrai. La contraposée {k\le x\Leftrightarrow k\le [x]} est plus immédiate (en effet {[x]} est le plus grand entier inférieur ou égal à {x}).

Soit {A} une partie non vide et bornée de {\mathbb{R}}.
On note {-A=\{-a,\;a\in A\}}. Alors {\inf(-A)=-\inf(A)}.
Vrai? Faux?
C’est faux. En fait on a {\inf(-A)=-\sup(A)}.
Par exemple, si {A=[-2,3[}, alors {-A=]-3,2]} et {\inf(-A)=-3=-\sup(A)}.

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