Vrai/Faux (nombres réels)

Voici un Vrai/Faux de 17 affirmations sur le thème « Nombres réels ». À chacune d’elles, on répond par « Vrai » si elle est « tout le temps vraie », et par Faux… sinon!

On ne répond pas au hasard : on saura dire pourquoi une propriété est vraie, ou alors trouver un contre-exemple si elle est fausse.

Pour tout

{n}

{\mathbb{N}}

, on a l’implication :

{\sqrt{n}\in\mathbb{Q}\Rightarrow(\exists\, m\in\mathbb{N},n=m^{2})}

Vrai? Faux?

C’est vrai.
Soit

{n\ge2}

. Si

{\sqrt{n}=m/q}

, avec

{m\wedge q=1}

{q\ge2}

, et si

{p}

premier divise

{q}

, alors

{p}

divise

{q^2n=m^2}

donc divise

{m}

et c’est absurde. Ainsi

{q=1}

{n=m^2}

Pour

{x}

dans

{\mathbb{R}}

, et

{k}

dans

{\mathbb{Z}}

, on a :

{[x]\lt k\Leftrightarrow x\lt k}

Vrai? Faux?

C’est vrai. La contraposée

{k\le x\Leftrightarrow k\le [x]}

est plus immédiate (en effet

{[x]}

est le plus grand entier inférieur ou égal à

{x}

Soit

{A}

une partie non vide et bornée de

{\mathbb{R}}

.
On note

{-A=\{-a,\;a\in A\}}

. Alors

{\inf(-A)=-\inf(A)}

Vrai? Faux?

C’est faux. En fait on a

{\inf(-A)=-\sup(A)}

.
Par exemple, si

{A=[-2,3[}

, alors

{-A=]-3,2]}

{\inf(-A)=-3=-\sup(A)}

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