Le second degré

Exercice 1.
Soient {a,b,c} des réels.

  • donner les racines de {(E): ax^2+bx+c=a+b+c}.
  • donner les racines de {(E): (a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0}.
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Exercice 2.
Soient {a,b,c,d} des réels. On pose
{f(x)\!=\!(x\!-\!a)^2\!\!+\!(x\!-\!b)^2\!\!+\!(x\!-\!c)^2\!\!+\!(x\!-\!d)^2}Déterminer {x} qui minimise {f(x)} (on ne demande pas la valeur du minimum).
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Exercice 3.
On se donne trois réels {a,b,c} distincts. Déterminer la seule fonction du second degré en {x} telle que : {f(a)=1,\quad f(b)=0,\quad f(c)=0}Soient {p,q,r} des réels. Déterminer la seule fonction trinôme {f} telle que :{f(a)=p,\quad f(b)=q,\quad f(x)=r}
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Exercice 4.
Soit {a,b} les racines de {x^2-x-9=0}.
Sans chercher à calculer {a,b}, calculer {\begin{cases}a^3+b^3\\[6pts]a^4+b^4\end{cases}}
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Exercice 5.
Selon les valeurs du réel {a>0}, résoudre l’équation :{(E): x=\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}
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Exercice 6.
Résoudre l’équation {(E):x^4-4x+1=0} dans {\mathbb{R}}.
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Exercice 7.
Soient {a,b,c} dans {\mathbb{R}^*}.
Prouver l’inégalité : {\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}}Préciser le cas d’égalité.
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Exercice 8.
Soit {t} dans {[0,1]}. Montrer que l’un au moins des réels {t^2}, {(1-t)^2}, {2t(1-t)} est supérieur ou égal à {\dfrac{4}{9}}.
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