Convergence cubique d'un produit infini

(Oral Centrale Mp)
On définit les fonctions :

{f(x)\!=\!\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}\;\text{et}\;g(x)\!=\!4x^{3}\!+\!6x^{2}\!-\!\dfrac{3}{2}}

Pour

{x>\dfrac{1}{2}}

, on pose

{u_{1}(x)=x}

et :

{\forall\, k\ge0,u_{k+1}(x)=g(u_{k}(x))}

On pose également :

{\forall\, n\in\mathbb{N}^{*},\;P_{n}(x)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}

On va prouver que {(P_{n})} converge vers {f}.
- Soit ${x>\dfrac{1}{2}}$ fixé, et l’équation : ${(E_{x}): f(x)=\Bigl(1+\dfrac1x\Bigr)f(y)}$ d’inconnue ${y>\dfrac{1}{2}}$ .
  
  Montrer que ${(E_{x})\Leftrightarrow y=g(x)}$ .
- Pour ${x>\dfrac{1}{2}}$ , montrer que ${k\mapsto u_{k}(x)}$ croît strictement vers ${+\infty}$ .
- Prouver ${\displaystyle\lim_{n\to\infty}P_{n}(x)=f(x)}$ . Ainsi : ${\forall\, x>\dfrac{1}{2},\;\sqrt{\dfrac{2x+3}{2x-1}}=\displaystyle\prod_{k=1}^{+\infty}\Bigl(1+\dfrac{1}{u_{k}(x)}\Bigr)}$
On va étudier la qualité de la convergence de la suite {P_{n}} vers {f}.
- Montrer qu’on a l’équivalent ${f(x)-P_{n}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{f(x)}{u_{n+1}(x)}}$
- En déduire : ${f(x)-P_{n+1}(x)\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{(f(x)-P_{n}(x))^{3}}{4f^{2}(x)}}$ Commentaire?

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