Calculs asymptotiques
Recherche d’asymptote
On étudie l’existence d’une asymptote à la courbe représentative d’une fonction (dépendant d’un paramètre) au voisinage de l’infini, et le placement par rapport à cette asymptote.
Développements asymptotiques
Cinq exercices de calculs de développements asymptotiques
QCM (analyse asymptotique)
Un questionnaire sur le thème « Analyse asymptotique ». Pour chacune des 17 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte.
Développement asymptotique et EQD
(Oral Centrale) Dans cet exercice, on montre que toute solution de l’équation différentielle {y'=1/(1+x^2+y^2)} a un développement asymptotique à tout ordre en {1/x} en {+\infty}
Une récurrence linéaire d’ordre 2
(Oral Centrale) On étudie les suites {u} satisfaisant à une certaine récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients non constants (monotonie, domination puis équivalent en {+\infty}).
Équivalent dans une récurrence de pas 2
(Oral Centrale) On considère une suite {(x_n)} définie par une récurrence (non linéaire) de pas 2. Par l’utilisation d’une suite auxiliaire, on calcule un équivalent de {x_n}.
Développement en produit infini
(Oral Centrale) On définit une suite de fonctions par récurrence; on établit qu’elle converge vers une certaine fonction {f}, et avec une vitesse cubique de convergence.
Approximation de racines de polynômes
(Oral Centrale) On étudie la convergence de la suite formée de l’unique racine positive d’un polynôme {P_n}. On établit la vitesse de convergence de cette suite.
Suite définie par une intégrale
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}Montrer que la suite {\left(u_{n}\right)} est convergente.
Donner un équivalent de {u_{n}} quand {n\to+\infty}.
Montrer que, pour tout {n\in\mathbb{N}^{*}} : {\exists\,!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;\displaystyle\int_{1/n}^{u_{n}}\text{e}^{-x^{2}/2}\,\text{d}x=\dfrac{1}{10n}}Montrer que la suite {\left(u_{n}\right)} est convergente.
Donner un équivalent de {u_{n}} quand {n\to+\infty}.
Analyse d’une suite implicite
(Oral Mines-Ponts)
On se donne un réel {c\in\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {(E) :x\sin x = c\cos x}, d’inconnue {x\in\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que (E) a une unique solution {x_n} dans chaque {I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[} ({n\in\mathbb{N}}).
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^3}}.
On se donne un réel {c\in\mathbb{R}^{+*}}.
Soit {(E) :x\sin x = c\cos x}, d’inconnue {x\in\mathbb{R}^{+*}}.
Montrer que (E) a une unique solution {x_n} dans chaque {I_{n}=\big]n\pi ,\,n\pi\!+\!\pi/2\big[} ({n\in\mathbb{N}}).
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^3}}.
Développement d’une suite implicite
(Oral Mines-Ponts)
Montrer que : {\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}.
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^2}}.
Montrer que : {\forall\,n\!\in\!\mathbb{N}^{*},\;\exists\,!\,x_{n}\!>\!0,\;x_{n}^{n}+x_{n}=3}.
Développer {x_{n}} à la précision {\dfrac{1}{n^2}}.
Deux suites récurrentes
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.
Soit {\left(r_{n}\right)_{n\ge0}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}} de limite {r>0}.
On pose {\begin{cases}a_{0}=1\\b_{0}=1\end{cases}} et {\begin{cases}(1) :a_{n+1}=a_{n}\!+\!b_{n}/2\\(2) :b_{n+1}=r_{n}\left(4a_{n}\!+\!b_{n}\right)\end{cases}}
Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto q_{n}=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}} est monotone.
Donner sa limite, et {k>0} tel que {b_{n}\stackrel{+\infty}{\sim}ka_{n}}.
Récurrences croisées
(Oral Mines-Ponts)
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}
Soient {\alpha ,\beta} dans {\mathbb{R}^{+*}}. On pose {a_{1}=b_{1}=1} puis :{\begin{array}{l}(1) : a_{n+1}=a_{n}+\beta b_{n}\\[6pt](2) : b_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}\left(\alpha a_{n}+b_{n}\right)\end{array}}Justifier que {\lim\limits_{+\infty}a_{n}=\lim\limits_{+\infty}b_{n}=+\infty }.
On suppose que {n\mapsto a_{n+1}/a_{n}} est monotone.
Montrer qu’elle converge et que {b_{n}\stackrel{_{+\infty}}{\sim}\sqrt{\dfrac{\alpha}{\beta}}a_{n}}
Suite implicite et série
(Oral Inp)
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Pour {n\ge2}, on pose {f_{n}(x)=\text{e}^{x}+x-n}.
Montrer que : {\exists!\,u_{n}\in\mathbb{R},\;f_{n}(u_{n})=0}.
Déterminer un équivalent de {u_{n}}.
on pose {v_{n}=u_{n}-a\ln(n)-\dfrac{b}{n}\ln(n)}.
Trouver {a,b} tels que {\displaystyle\sum v_{n}} converge.
Calcul de la limite d’une somme de….
(Oral Tpe)
On pose {u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}.
Déterminer la limite de {u_n} quand {n\to+\infty }
On pose {u_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{k^{2}}e^{-n/k}}.
Déterminer la limite de {u_n} quand {n\to+\infty }
Une recherche d’équivalent
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}.
Montrer que : {\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}.
Soit {(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}.
Montrer que : {\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}.
Un calcul d’équivalent
(Oral Mines-Ponts)
Soit {(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}.
Montrer : {\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}.
Soit {(a,b)\in(\mathbb{R}^{+*})^2}.
Montrer : {\displaystyle\prod_{k=1}^n (a+kb)^{1/n}\sim b(n!)^{1/n}}.
Équivalence d’équivalents
(oral Centrale)
Pour toute suite réelle {(u_{n})}, on étudie la propriété (P) suivante : {u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}
Pour toute suite réelle {(u_{n})}, on étudie la propriété (P) suivante : {u_{n}\sim \dfrac{1}{n}\Leftrightarrow u_{n}+u_{n-1}\sim \dfrac{2}{n}}
Équivalent d’une somme alternée
(Oral Mines-Ponts)
Calculer un équivalent de {b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}.
Calculer un équivalent de {b_{n}=\displaystyle\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(-1)^{k}\sqrt{k}}.
Convergence cubique d’un produit infini
(Oral Centrale Mp)
Convergence cubique d’un produit infini
Convergence cubique d’un produit infini
Une suite récurrente paramétrée
Puissances et racines de matrices
(Oral Centrale Mp)
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}
Pour {A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})}, calcul de {A^n,\,n\in\mathbb{Z}} de {A^{1/n}}, de {\exp(A)}
Accélération de convergence (Aitken)
(Oral Centrale Mp)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Accélération de la convergence d’une suite récurrente (méthode d’Aitken)
Étude de la suite n ⟼ (1+1/n)n+a
(oral Centrale Mp)
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Pour tout réel {a}, on sait que la suite {n \mapsto (1+1/n)^{n+a}} tend vers e. Dans cet exercice, on étudie la monotonie de cette suite, et sa position par rapport à la limite e, en fonction du paramètre {a}.
Les racines du polynôme dérivé
(Oral Centrale Mp)
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Comportement asymptotique des racines de {P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X-k)}
Équivalents et sommes partielles
(Oral X-Cachan Psi)
Équivalents et sommes partielles.
Équivalents et sommes partielles.
La constante d’Euler
Dans cet exercice, on voit la définition de la constante d’Euler \gamma, et le développement : {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.
D’Alembert (ou pas)
Préciser la nature de {\displaystyle\sum u_n} et {\displaystyle\sum v_n}, où : {\begin{array}{rl}u_{n}&=\dfrac{2\cdot5\cdot8\cdots(3n\!-\!1)}{1\cdot5\cdot9\cdots(4n\!-\!3)}\\\\v_{n}&=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\end{array}}
Une série à paramètres
Convergence (et somme éventuelle) de {\displaystyle\sum_{n\ge0}\bigl(\sqrt{n}+a\sqrt{n\!+\!1}+b\sqrt{n\!+\!2}\bigr)}
Variations d’une série de fonctions
(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
On pose {f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}.
Dérivabilité de {f}, et équivalent en {0} et en +\infty.
Équivalent d’une somme
(oral Ccp)
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Trouver la constante K telle que {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}.
Sommes harmoniques et séries
(Oral Ccp)
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
On calcule {\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}, où {u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}.
Équivalents et séries numériques
(Oral Ccp)
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Équivalent de {v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}, puis nature de {\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}.
Suite récurrente, calculs asymptotiques
(Oral Centrale)
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Soit {x_{0}>0} et : {\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}.
On demande un développement asymptotique à deux termes de {x_n} en {+\infty}.
Équa. diff. et développement limité
(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
On considère l’équation différentielle {(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}.
Montrer que (E) admet une unique solution {f} sur {]-\infty,1[} vérifiant {f(0) = 0}.
Donner un développement de {f} à l’ordre {4} en {0}.
Équivalents et intégrales
(Oral Mines-Ponts)
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de {F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t} en {+\infty}.
Équivalents et polynômes
(oral Mines-Ponts)
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Soit {P \in\mathbb{R} [X]}. Trouver un équivalent de {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)} quand {n\to+\infty}.
Étude d’une suite récurrente
(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Étudier la suite définie par u_1\gt0 et : {\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}.
Une limite de somme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Soit {p \in\mathbb{R}}. Étudier la suite {n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}.
Étude d’une suite implicite
(oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}.
On étudie la limite \ell de la suite (u_n), puis un équivalent de u_n-\ell.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}.
On étudie la limite \ell de la suite (u_n), puis un équivalent de u_n-\ell.
Suite implicite et série
(Oral Ccp)
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
Soit u_n l’unique solution positive de {x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}.
Étudier (u_n), puis {\displaystyle\sum u_{n}} et {\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}.
DL d’une bijection réciproque
(oral Ccp)
Montrer que {f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)} est une bijective de {]-1,+\infty[} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {g=f^{-1}} est {{\mathcal C}^{\infty}}. Donner son DL en 0 à l’ordre {3}
Montrer que {f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)} est une bijective de {]-1,+\infty[} sur {\mathbb{R}}.
Montrer que {g=f^{-1}} est {{\mathcal C}^{\infty}}. Donner son DL en 0 à l’ordre {3}
Reste d’une série de Riemann
(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Encadrement et équivalent de {R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}
Convergence d’une série numérique
(Oral Mines-Ponts)
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Condition sur {P\in\mathbb{R}[X]} pour que {\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)} converge.
Une série de produits
(Oral X-Cachan Psi)
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Soit {\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}, avec un DL à tout ordre en 1/x.
On étudie la convergence de la série des {p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}.
On applique ce résultat quand \varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}
Un développement asymptotique
(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.
On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera. Donner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.