Exercice (oral Centrale/Supélec)
Pour tout entier {n\ge1}, on définit le polynôme :{\displaystyle P_{n}=-1+X+{X^2\over2}+\cdots+{X^n\over n}}
Question 1.a
Discuter le nombre de racines réelles de {P_{n}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 1.b
On note {x_n} l’unique racine de {P_{n}} dans {]0,1]}.
Montrer que la suite {(x_n)_{n\ge1}} est convergente.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 1.c
Déterminer la limite {\lambda} de la suite {(x_n)_{n\ge1}}.
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 2.a
Montrer que {P_{n}(\lambda)=-\displaystyle\int_{0}^{\lambda}\dfrac{x^{n}}{1-x}\,\text{d}x}
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 2.b
Prouver que : {P_{n}(\lambda)\!\le\! P'_{n}(\lambda)(\lambda\!-\!x_{n})\!\le\! \lambda\!-\!x_{n}}
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :
Question 2.c
En déduire : {x_{n}=\lambda+\text{O}\Bigl(\dfrac{\lambda^{n}}{n}\Bigr)} quand {n\to\infty}
|
Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse
Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :
Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :