Calculs asymptotiques
Exercices corrigés (calculs asymptotiques) pour Mpsi Pcsi, et pour Spé Mp, Pc, Psi (posés aux concours Polytechnique, Ens, Mines, Centrale, Ccp, etc.)

Variations d’une série de fonctions

(Oral CCinp et Mines-Ponts)
On pose

{f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n(nx+1)}}

.
Dérivabilité de

{f}

, et équivalent en

{0}

et en

+\infty

➡️

Équivalent d’une somme

(oral Ccp)
Trouver la constante

K

telle que

{S_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{\sqrt k}\stackrel{n\rightarrow+\infty}{\sim}K\sqrt{n}}

➡️

Sommes harmoniques et séries

(Oral Ccp)
On calcule

{\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_{n}}

, où

{u_{n}=\dfrac{1}{\sum\limits_{k=1}^{n}k^{2}}}

➡️

Équivalents et séries numériques

(Oral Ccp)
Équivalent de

{v_{n}=\displaystyle\sum_{q=n}^{+\infty}\dfrac{1}{q^{\alpha}}}

, puis nature de

{\displaystyle\sum \dfrac{v_{n^{2}}}{v_{n}}}

➡️

Suite récurrente, calculs asymptotiques

(Oral Centrale)
Soit

{x_{0}>0}

et :

{\forall n\ge0,\;x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{1}{x_{n}}}

.
On demande un développement asymptotique à deux termes de

{x_n}

{+\infty}

➡️

Équa. diff. et développement limité

(Oral Tpe)
On considère l’équation différentielle

{(E)\,\colon 2(x-1)y' + y = \sin(2x) + x^{2}}

.
Montrer que

(E)

admet une unique solution

{f}

sur

{]-\infty,1[}

vérifiant

{f(0) = 0}

.
Donner un développement de

{f}

à l’ordre

{4}

{0}

➡️

Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{\delta\in\,]\,0,1[}

. Donner un équivalent de

{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin(t)}\right|}{t^{\delta}}\,\text{d}t}

{+\infty}

➡️

Équivalents et polynômes

(oral Mines-Ponts)
Soit

{P \in\mathbb{R} [X]}

. Trouver un équivalent de

{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}P(k)}

quand

{n\to+\infty}

➡️

Étude d’une suite récurrente

(Oral Mines-Ponts)
Étudier la suite définie par

u_1\gt0

et :

{\forall n\ge1,\;u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+nu_{n}^{2}}}

➡️

Une limite de somme

(Oral Mines-Ponts)
Soit

{p \in\mathbb{R}}

. Étudier la suite

{n\mapsto S_{n}(p) = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{1+k^{p}}}

➡️

Étude d’une suite implicite

(oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x-1=0}

.
On étudie la limite

\ell

de la suite

(u_n)

, puis un équivalent de

u_n-\ell

➡️

Suite implicite et série

(Oral Ccp)
Soit

u_n

l’unique solution positive de

{x^{n}\!+\!x\sqrt{n}\!-\!1\!=\!0}

.
Étudier

(u_n)

, puis

{\displaystyle\sum u_{n}}

{\displaystyle\sum(-1)^{n}u_{n}}

➡️

DL d’une bijection réciproque

(oral Ccp)
Montrer que

{f\colon x\mapsto x+\ln(1+x)}

est une bijective de

{]-1,+\infty[}

sur

{\mathbb{R}}

.
Montrer que

{g=f^{-1}}

est

{{\mathcal C}^{\infty}}

. Donner son DL en

0

à l’ordre

{3}

➡️

Reste d’une série de Riemann

(Oral Ccp)
Encadrement et équivalent de

{R_{n}=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{\alpha}}}

➡️

Convergence d’une série numérique

(Oral Mines-Ponts)
Condition sur

{P\in\mathbb{R}[X]}

pour que

{\displaystyle\sum\Bigl(\big( n^4+n^2\big)^{1/4}-\big(P(n)\big)^{1/3}\Bigr)}

converge.

➡️

Une série de produits

(Oral X-Cachan Psi)
Soit

{\varphi\in\mathcal{C}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}

, avec un DL à tout ordre en

1/x

.
On étudie la convergence de la série des

{p_{n}=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\varphi(k)}

.
On applique ce résultat quand

\varphi(x)=2-\text{e}^{-\alpha/x}

➡️

Un développement asymptotique

(oral Mines-Ponts)
On considère l’équation

(E_n):\text{e}^x=x^n

, avec

n\in\mathbb{N}

.
1. Montrer que pour

n

assez grand

(E_n)

a dans

{\mathbb{R}^{+*}}

deux solutions

{u_{n}\lt v_{n}}

.
2. Montrer que la suite

{(u_{n})}

converge vers une limite

{\ell}

que l’on précisera. Donner un équivalent de

{u_{n}-\ell}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
3. Calculer

{\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}}

puis donner un équivalent de

{v_{n}}

quand

{n}

tend vers

{+\infty}

.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de

{v_{n}}

➡️