Les racines du polynôme dérivé

(Oral Centrale Mp)
Pour tout

{n}

{\mathbb{N}^*}

, on pose :

{P_{n}=\displaystyle\prod_{k=0}^{n}(X\!-\!k)\text{\ et\ }R_{n}=\dfrac{P_{n}'}{P_{n}}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{X-k}}

Pour ${n>k\ge 0}$ , montrer que ${P'_{n}}$ a une unique racine ${\lambda_{n,k}}$ dans ${]k,k+1[}$ .
On fixe la valeur de l’entier {k}.
- Prouver que la suite ${(\lambda_{n,k})_{n>k}}$ est strictement décroissante.
  On note ${\ell_{k}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\lambda_{n,k}}$ .
- Pour ${n\ge k+1}$ , prouver que : ${\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}>\displaystyle\sum_{j=1}^{n-k}\dfrac{1}{j}-\displaystyle\sum_{j=1}^{k}\dfrac{1}{j}}$ En déduire ${\ell_{k}=k}$ .
- Majorer ${\dfrac{1}{\lambda_{n,k}-k}}$ pour ${n\ge k+2}$ .
  En déduire ${\lambda_{n,k}-k\overset{n\to+\infty}\sim\dfrac{1}{\ln(n)}}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) le corrigé

Pour voir ce contenu, vous devez :

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :